Как работает мозг

Второй способ овладеть математикой – такой же, как способ попасть в Карнеги-холл: практика и еще раз практика. Математические понятия образуются путем соединения старых понятий в новом порядке, который может быть полезен. В то же время старые понятия представляют собой совокупность еще более старых понятий. Каждый такой подузел скреплен ментальными «заклепками», известными нам как фрагментация и автоматизация: обширная практика приводит к тому, что понятия склеиваются в более крупные понятия, а последовательности шагов соединяются в один шаг. Точно так же, как велосипед собирается из рамы и колес, а не из трубок и спиц, а в рецепте говорится, как приготовить соус, а не как взять ложку или как открыть банку, освоение математики заключается в том, чтобы соединить друг с другом операции, доведенные до автоматизма. Учителя высшей математики жалуются, что для студентов этот предмет оказывается слишком сложным не потому, что производные и интегралы – слишком мудреные понятия (ведь на самом деле они представляют собой просто-напросто скорость и накопление), а потому, что невозможно овладеть высшей математикой, если не имеешь навыка выполнения алгебраических операций, а большинство студентов приступают к изучению этого курса, не освоив должным образом алгебру, поэтому им приходится концентрировать на каждом действии всю свою умственную энергию до последней капли. Математика – это беспредельное наращивание информации начиная от самой элементарной ступени счета до десяти.

Эволюционная психология имеет для педагогики значение, которое особенно очевидно в аспекте обучения математике. Американские дети показывают едва ли не худшие результаты во всем индустриально развитом мире по тестам на уровень усвоения математических знаний. Они не рождаются тупицами; проблема в том, что в образовательных учреждениях не задумываются об эволюции. Господствующей философией математического образования в США является конструктивизм – смесь психологии Пиаже с идеологией контркультуры и постмодернизма. Дети должны сами конструировать математические знания в условиях социального предприятия, а подталкивать их к этому должны разногласия относительно значения понятий. Учитель предоставляет им материалы и социальную среду, однако не читает лекций и не направляет обсуждение в нужное русло. Упражнения и практическая отработка приемов – верные способы выработки автоматизма – именуются «механистическими» и считаются губительными для понимания. Как весьма понятно пояснил один педагог, «зона потенциального конструирования специфического математического понятия определяется модификациями понятия, которые могут внести дети в процессе или в результате интерактивной коммуникации в математической среде обучения». Результат, как заявил другой, заключается в том, что «для учащихся становится возможным самим конструировать математические методы, для формирования которых исторически потребовалось несколько тысяч лет»[377].

Как отмечает Гири, конструктивизм имеет ценность, когда речь идет об интуитивном восприятии малых чисел и простой арифметики, которая естественным образом формируется у всех детей. Однако он не принимает во внимание различий между нашим штатным оборудованием и теми вспомогательными агрегатами, которые прикручивает к нему впоследствии цивилизация. Настроить наши ментальные модули на работу с материалом, для которого они не предназначались, сложно. Дети не могут непроизвольно начать рассматривать нитку бус как множество элементов или стоящие в ряд точки – как числа. Если дать им кубики и попросить что-нибудь сделать из них вместе, они будут изо всех сил упражняться в интуитивной физике и интуитивной психологии, но совсем не обязательно применят интуитивное чувство количества. (В более удачных образовательных программах связи между разными способами познания проводятся более явно. Детям могут предложить решить одну и ту же арифметическую задачу тремя способами: считая, рисуя схемы или передвигая элементы по числовой оси.) А без практики, которая постепенно превращает неуверенную последовательность элементарных действий в умственный рефлекс, учащийся всегда будет вынужден строить математические структуры из мельчайших болтов и гаек, как часовщик, который никогда не собирал узлы и был вынужден начинать все сначала каждый раз, когда откладывал часы, чтобы ответить на телефонный звонок[378].