Как работает мозг

Маклейн предполагает, что «математика начинается с целого ряда видов деятельности человека, высвобождает из них ряд понятий, которые являются универсальными и непроизвольными, а затем формализует эти понятия и их многоаспектные взаимосвязи». Сила математики в том, что системы формальных правил могут «кодифицировать более глубокие и неочевидные свойства различных вторичных видов человеческой деятельности». Все— даже слепой ребенок – инстинктивно знают, что путь по прямой из точки А в точку В, а потом в точку С будет длиннее, чем путь напрямую из точки А в точку С. Мы все также представляем, каким образом линия определяет границу квадрата и как фигуры, располагаясь рядом друг с другом, могут образовывать более крупные фигуры. Однако без помощи математики мы не можем доказать, что квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов, чтобы рассчитать экономию от короткого пути без необходимости проходить по каждой из этих дорог[376].

Говоря, что школьная математика вытекает из интуитивной математики, мы не имеем в виду, что она вытекает из нее легко. Дэвид Гири высказал предположение, что естественный отбор дал детям некоторые из базовых математических способностей: определять количество предметов в небольших множествах, понимать такие отношения, как «больше, чем» и «меньше, чем», упорядочивать малые числа, складывать и вычитать малые множества, использовать наименования чисел для простого счета, измерения и арифметических действий. Но на этом и всё. Дети, полагает Гири, биологически не предназначены для того, чтобы оперировать наименованиями крупных чисел, крупными множествами, десятичной системой счисления, дробями, выполнять сложение и вычитание столбиком, переносить, занимать десятки, умножать, делить, вычислять корни и степени. Эти навыки формируются медленно, неравномерно или вообще не формируются.

С точки зрения эволюции было бы удивительно, если бы дети располагали механизмами мышления, необходимыми для школьного курса математики. Эти инструменты были изобретены не так давно и только в некоторых культурах, к тому же их появление было слишком локальным и слишком поздним, чтобы отразиться в геноме человека. Источником этих изобретений стало регистрирование и обмен излишками сельского хозяйства в первых сельскохозяйственных цивилизациях. Благодаря развитию официального обучения и письменности (которая и сама по себе является недавним изобретением, не предусмотренным природой), у людей появилась возможность накапливать эти новые знания в течение тысячелетий, объединяя простые математические операции во все более и более сложные. Письменные знаки стали средством вычисления, способным преодолеть ограничения краткосрочной памяти – точно так же, как кремниевые микросхемы в наше время.

Как же человеку с его мышлением, сформированным еще в каменном веке, овладеть сложнейшими математическими инструментами? Первый способ – это настроить модули мышления на работу с объектами, отличными от тех, для которых они предназначались изначально. Как правило, для анализа линий и фигур мы используем формирование изображений и другие компоненты нашего чувства ориентации в пространстве, а для анализа групп объектов – владение числами. Однако чтобы достичь обозначенного Маклейном идеала – высвободить общее из частного (например, вычленить общее понятие количества из такого частного понятия, как количество камней в куче), людям, вероятно, потребовалось применить свое восприятие количества к совокупности, которая на первый взгляд представляется вообще не подходящей для этого. Например, проанализировать линию на песке не с помощью привычных операций с изображениями – постоянного просматривания и смещения, а с помощью отсчета количества воображаемых сегментов от одного ее конца до другого.