Feynmann 4

Ответим на более общий вопрос: Какова вероятность того, что молекула не испытает ни одного столкновения за время t? Начнем в какой-то произвольный момент времени, который мы назовем t=0, следить за определенной молекулой. Какова вероятность того, что до момента встречи ее с другой молекулой пройдет время t? Чтобы вычислить вероятность, посмотрим, что случится со всеми N₀ молекулами, находящимися в ящике. Пока мы ждем в течение времени t, некоторые молекулы ис­пытают столкновения. Пусть N(t) — число молекул, не испы­тавших столкновений за время t. Мы можем определить N(t), ибо нам известно, как это число меняется со временем. Это число N(t), естественно, меньше общего числа молекул N₀. Если мы знаем, что за время t избежать столкновений удалось N(t) молекулам, то N(t+dt) (число молекул, которым удалось сделать это за время t+dt) меньше N(t) на число молекул, все-таки столкнувшихся за время dt. Мы уже раньше научи­лись определять число молекул, которым не удалось избежать столкновений за время dt, с помощью среднего времени т: dN=N(t)dt/t. Мы получаем уравнение

N(t+dt)=N(t)-N(t)dt/t. (43.2)

Величину, стоящую в левой части уравнения, N(t+dt), можно в согласии с общими правилами дифференциального исчис­ления записать в виде N(t)+(dN/dt)(dt). Сделав эту подстановку, мы приведем уравнение (43.2) к виду

Число молекул, выбывших из игры за промежуток dt, пропор­ционально числу наличных молекул и обратно пропорционально среднему времени жизни t. Уравнение (43.3) легко проинтег­рировать, если переписать его в виде

Поскольку в каждой части стоит полный дифференциал, то интеграл уравнения таков:

lnN(t)=-t/t+ постоянная, (43.5)

или, что то же самое,

N(t)=(постоянная)е^-t/t. (43.6)

Мы знаем, что постоянная должна быть равна N₀ — полному числу молекул, потому что в начальный момент t=0 все моле­кулы ждут «следующего» удара. Мы можем записать наш результат в виде

N(t)=N₀e^-t/t. (43.7)

Если мы хотим определить вероятность P(t) того, что молекула не испытает столкновений, нужно величину N(t) поделить на N₀; тогда получим

P(t)=е^-t/t. (43.8)

Вот наш результат: вероятность того, что какая-то молекула сможет прожить время t, не столкнувшись, равна ехр(-t/t), где t — среднее время между столкновениями. Вероятность эта начинается с 1 (очевидности) при t=0 и уменьшается по мере того, как t становится все больше и больше. Вероят­ность того, что молекула избежит столкновений за время t, равна е^-1=0,37... Шансов выдержать дольше, чем среднее время между столкновениями, меньше половины. В этом нет ничего странного, потому что существует достаточно много молекул, которые избегают столкновений значительно дольше среднего времени между столкновениями, так что среднее время между столкновениями по-прежнему равно t,

Первоначально мы определили t как среднее время между столкновениями. Сформулированный в виде уравнения (43.7) результат говорит нам, что среднее время, отсчитываемое от произвольно взятого момента до следующего столкновения, также равно т. Этот несколько удивительный факт можно продемонстрировать следующим образом. Число молекул, которые испытают их следующее столкновение в промежутке dt, отсчитанного от времени t после произвольно взятого началь­ного времени, равно N(t)dt/t. Их «промежуток времени до сле­дующего столкновения» равен, конечно, t. «Среднее время до следующего столкновения» получается обычным образом:

Среднее время до следующего столкновения=

Используя полученное из (43.7) число N(t) и вычисляя интеграл, найдем, что t — это среднее время, отсчитанное от любого момента до следующего столкновения.

§ 2. Средняя длина свободного пробега

Есть еще возможность описать столкновения молекул, не вводя для этого времени между столкновениями. Можно оп­ределить, далеко ли успеет уйти частица между столкновениями. Если мы знаем, что среднее время между столкновениями равно t, а средняя скорость молекул равна v, то очевидно, что среднее расстояние между столкновениями, которое мы обозначим бук­вой l, равно произведению t и v;. Это расстояние между столк­новениями обычно называют длиной свободного пробега:

Длина свободного пробега l=tv. (43.9)