Читаем Числа: от арифметики до высшей математики полностью

Для чисел, меньших единицы, это правило также справедливо, за исключением деталей, касающихся экспоненциальной части. Например, рассмотрим число 0,0054. Его можно записать как 54 × 0,0001 или как 5,4 × 0,001. Каждое из этих выражений после перемножения даст один и тот же результат, 0,0054. В экспоненциальной форме это выглядит как 54 × 10-4, 5,4 × 10-3 или 0,54 × 10-2.

Эти выражения также эквивалентны. Как и в предыдущем примере, мы можем умножить 5,4 на 10, 10-3 разделить на 10. Деление 10-3 на 10 равноценно умножению на 10-1. Деление равноценно вычитанию одного показателя степени из другого (-3 - 1 = -4), то есть 10-3 разделить на 10 равно 10-3-1 или 10-4. Таким образом, мы превратили выражение 5,4 × 10-3 в 54 × 10-4, не изменив его величины.

При помощи аналогичных процедур мы можем превратить 5,4 × 10-3 в 0,54 × 10-2, не изменив его величины. Но на практике предпочтительнее использовать выражение 5,4 × 10-3, поскольку в этом случае неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10.

Продолжаем жонглировать экспонентами

К экспоненциальным числам применимы те же правила, как и к обычным числам.

В операциях сложения и вычитания участвуют только неэкспоненциальные составляющие чисел. Например, при сложении 2,3 × 104 и 4,2 × 104 получаем 6,5 × 104. (Проверьте это утверждение, преобразовав экспоненциальные выражения в неэкспоненциальные: 23 000 и 42 000. Сложив их, вы получите 65 000. Такую же операцию можно осуществить со всеми примерами, которые я привел в этой главе. Таким образом, вы не только научитесь обращаться с экспоненциальными выражениями, но и на практике сможете убедиться, что не обязательно верить всему, что вам говорят, даже если это «что-то» напечатано в типографии.)

Сумма чисел 8,7 × 104 и 3,9 × 104 равна 12,6 × 104. Ответ можно оставить в этом виде, хотя неэкспоненциальная часть больше 10. Можно также при помощи операций умножения—деления, описанных выше, привести выражение к более удобному виду: 1,26 × 105. Этот ответ такой же правильный, как и предыдущий.

А как поступать, когда у чисел различается экспоненциальная часть? Чему будет равна сумма 1,87 × 104 и 9 × 102? Для того чтобы провести сложение, потребуется привести оба числа к такому виду, когда обе экспоненциальные части одинаковы. Например, 1,87 × 104 можно преобразовать в 187 × 102. Тогда можно провести сложение: (9 × 102) + (187 × 102) = (9 + 187) × 102 = 196 × 102. Можно пойти другим путем и превратить 9 × 102 в 0,09 × 104, тогда получим (0,09 × 104) + (1,87 × 104) = (0,09 + 1,87) × 104 = 1,96 × 104.

Таким образом, мы получили два ответа: 196 × 102 и 1,96 × 104. Эти два выражения равноценны, но использовать предпочтительно второе.

С экспоненциальными числами также можно производить операции вычитания. На практике, однако, экспоненциальной формой редко пользуются при выполнении операций сложения и вычитания, поскольку удобнее складывать и вычитать обычные числа. А вот при операциях умножения и деления экспоненциальные числа незаменимы. Предположим, надо перемножить 6000 на 0,008. Это в общем-то нетрудно сделать в столбик:

В данном примере единственную трудность представляет операция с нулями. Нужно внимательно отследить положение десятичной запятой.

А теперь попробуем провести умножение, используя экспоненциальную форму выражения чисел. Переведем числа в экспоненциальную форму: 6000 = 6 × 104, 0,008 = 8 × 10-3. Перемножим эти числа: 6 × 104 × 8  × 10-3.  6 × 8 = 48; затем 104 × 10-3 = 101. (Складываем экспоненты 4 + (-3) = 1.) Получаем ответ: 48 × 101, или, в более удобной форме, 48 × 102, или в виде обычного числа 480.

Как мы видим, используя экспоненциальную форму, мы значительно упрощаем задачу умножения, особенно в том случае, когда имеем дело с очень большими и очень маленькими числами.

Предположим, надо решить такую задачу. Сколько атомов водорода содержалось бы в Земле, если бы она состояла только из этих атомов водорода.

Масса Земли равна

6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм, а масса атома водорода — 0,00000000000000000000000166 грамма. Чтобы найти количество атомов водорода, надо массу Земли разделить на массу атома водорода, то есть разделить 6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 на 0,00000000000000000000000166. Разумеется, вы можете проделать эту процедуру, если захотите, но, пожалуй, разумнее перейти к экспоненциальной форме.

При использовании экспоненциальных выражений задача сразу упрощается: (6 × 1027) : (1,66 × 10-24). Так же, как и в случае умножения, можно поделить одну неэкспоненциальную часть на другую. Таким образом, получаем частное 6 : 1,66 = 3,6 (приближенно, но достаточно для данной задачи), в то же время 1027: 10-24 = 1051). Таким образом, количество атомов водорода в Земле (если бы она состояла из одних атомов водорода и имела бы ту массу, которую имеет сейчас) равнялось бы 3,6 × 1051). Или в виде обычного числа

3 600 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Перейти на страницу:

Все книги серии Популярная наука

Удивительная Солнечная система
Удивительная Солнечная система

Солнечная система – наш галактический дом. Она останется им до тех пор, пока человечество не выйдет к звездам. Но знаем ли мы свой дом? Его размеры, адрес, происхождение, перспективы на будущее и «где что лежит»?Похоже, что мы знаем наш дом недостаточно. Иначе не будоражили бы умы открытия, сделанные в последние годы, открытия подчас удивительные и притом намекающие на то, какую прорву новых знаний мы должны обрести в дальнейшем. Уже в наше время каждая новая книга о Солнечной системе устаревает спустя считаные годы. Очень уж много информации приносят телескопы и межпланетные аппараты. Сплошь и рядом астрономические исследования и даже эксперименты кардинально меняют старые представления о том закоулке Галактики, где мы имеем удовольствие жить.Цель этой книги – дать читателю современное представление о Солнечной системе как части Галактики.

Александр Николаевич Громов

Научная литература / Прочая научная литература / Образование и наука

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное