Числа: от арифметики до высшей математики

Для чисел, меньших единицы, это правило также справедливо, за исключением деталей, касающихся экспоненциальной части. Например, рассмотрим число 0,0054. Его можно записать как 54 × 0,0001 или как 5,4 × 0,001. Каждое из этих выражений после перемножения даст один и тот же результат, 0,0054. В экспоненциальной форме это выглядит как 54 × 10^-4, 5,4 × 10^-3 или 0,54 × 10^-2.

Эти выражения также эквивалентны. Как и в предыдущем примере, мы можем умножить 5,4 на 10, 10^-3 разделить на 10. Деление 10^-3 на 10 равноценно умножению на 10^-1. Деление равноценно вычитанию одного показателя степени из другого (-3 - 1 = -4), то есть 10^-3 разделить на 10 равно 10^-3-1 или 10^-4. Таким образом, мы превратили выражение 5,4 × 10^-3 в 54 × 10^-4, не изменив его величины.

При помощи аналогичных процедур мы можем превратить 5,4 × 10^-3 в 0,54 × 10^-2, не изменив его величины. Но на практике предпочтительнее использовать выражение 5,4 × 10^-3, поскольку в этом случае неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10.

Продолжаем жонглировать экспонентами

К экспоненциальным числам применимы те же правила, как и к обычным числам.

В операциях сложения и вычитания участвуют только неэкспоненциальные составляющие чисел. Например, при сложении 2,3 × 10⁴ и 4,2 × 10⁴ получаем 6,5 × 10⁴. (Проверьте это утверждение, преобразовав экспоненциальные выражения в неэкспоненциальные: 23 000 и 42 000. Сложив их, вы получите 65 000. Такую же операцию можно осуществить со всеми примерами, которые я привел в этой главе. Таким образом, вы не только научитесь обращаться с экспоненциальными выражениями, но и на практике сможете убедиться, что не обязательно верить всему, что вам говорят, даже если это «что-то» напечатано в типографии.)

Сумма чисел 8,7 × 10⁴ и 3,9 × 10⁴ равна 12,6 × 10⁴. Ответ можно оставить в этом виде, хотя неэкспоненциальная часть больше 10. Можно также при помощи операций умножения—деления, описанных выше, привести выражение к более удобному виду: 1,26 × 10⁵. Этот ответ такой же правильный, как и предыдущий.

А как поступать, когда у чисел различается экспоненциальная часть? Чему будет равна сумма 1,87 × 10⁴ и 9 × 10²? Для того чтобы провести сложение, потребуется привести оба числа к такому виду, когда обе экспоненциальные части одинаковы. Например, 1,87 × 10⁴ можно преобразовать в 187 × 10². Тогда можно провести сложение: (9 × 10²) + (187 × 10²) = (9 + 187) × 10² = 196 × 10². Можно пойти другим путем и превратить 9 × 10² в 0,09 × 10⁴, тогда получим (0,09 × 10⁴) + (1,87 × 10⁴) = (0,09 + 1,87) × 10⁴ = 1,96 × 10⁴.

Таким образом, мы получили два ответа: 196 × 102 и 1,96 × 104. Эти два выражения равноценны, но использовать предпочтительно второе.

С экспоненциальными числами также можно производить операции вычитания. На практике, однако, экспоненциальной формой редко пользуются при выполнении операций сложения и вычитания, поскольку удобнее складывать и вычитать обычные числа. А вот при операциях умножения и деления экспоненциальные числа незаменимы. Предположим, надо перемножить 6000 на 0,008. Это в общем-то нетрудно сделать в столбик:

В данном примере единственную трудность представляет операция с нулями. Нужно внимательно отследить положение десятичной запятой.

А теперь попробуем провести умножение, используя экспоненциальную форму выражения чисел. Переведем числа в экспоненциальную форму: 6000 = 6 × 10⁴, 0,008 = 8 × 10^-3. Перемножим эти числа: 6 × 10⁴ × 8  × 10^-3.  6 × 8 = 48; затем 10⁴ × 10^-3 = 10¹. (Складываем экспоненты 4 + (-3) = 1.) Получаем ответ: 48 × 10¹, или, в более удобной форме, 48 × 10², или в виде обычного числа 480.

Как мы видим, используя экспоненциальную форму, мы значительно упрощаем задачу умножения, особенно в том случае, когда имеем дело с очень большими и очень маленькими числами.

Предположим, надо решить такую задачу. Сколько атомов водорода содержалось бы в Земле, если бы она состояла только из этих атомов водорода.

Масса Земли равна

6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм, а масса атома водорода — 0,00000000000000000000000166 грамма. Чтобы найти количество атомов водорода, надо массу Земли разделить на массу атома водорода, то есть разделить 6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 на 0,00000000000000000000000166. Разумеется, вы можете проделать эту процедуру, если захотите, но, пожалуй, разумнее перейти к экспоненциальной форме.

При использовании экспоненциальных выражений задача сразу упрощается: (6 × 10²⁷) : (1,66 × 10^-24). Так же, как и в случае умножения, можно поделить одну неэкспоненциальную часть на другую. Таким образом, получаем частное 6 : 1,66 = 3,6 (приближенно, но достаточно для данной задачи), в то же время 10²⁷: 10^-24 = 10⁵¹). Таким образом, количество атомов водорода в Земле (если бы она состояла из одних атомов водорода и имела бы ту массу, которую имеет сейчас) равнялось бы 3,6 × 10⁵¹). Или в виде обычного числа

3 600 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000