Числа: от арифметики до высшей математики

В качестве основания для системы счета можно выбрать и число меньше 10. Возьмем число 7, тогда система будет называться семеричной. Тогда нам нужно только 7 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Число 435 в семеричной системе для перевода в десятеричную можно записать как (4 × 7²) + (3 × 7¹) + (5 × 7⁰), что равно 196 + 21 + 5, или 222 в десятеричной системе.

Этот метод позволяет перевести число из одной системы счета в любую другую, причем он применим даже для десятичных дробей.

Выражение 0,15 в двенадцатеричной системе может быть представлено как (1 × 12^-1) + (5 × 12^-2), или 1/12 + 5/144, что равно 17/144 в десятеричной системе. В семеричной системе то же самое выражение можно представить как (1 × 7^-1) + (5 × 7^-2), или 1/7 + 5/49, что равно 12/49 в десятеричной системе.

Теперь давайте выясним, как определить, сколько отдельных символов необходимо для каждой отдельной системы счета. Первое число, для которого требуется два символа, — это 10 (в любой системе). Для всех чисел, меньших 10, требуются отдельные и разные символы. Все числа, большие 10, можно записать, используя комбинации символов чисел, меньших 10. Это правило, очевидно, справедливо для десятеричной системы, с которой мы так хорошо знакомы. Можно ожидать, что в других системах это правило тоже справедливо (в чем мы можем убедиться на практике).

Хорошо, теперь давайте выясним, чему равно значение выражения 10, например, в двенадцатеричной системе. Оно равно (1 × 12¹) + (0 × 12⁰), или 12 + 0, или 12 в десятеричной системе. Аналогично в семеричной системе выражение 10 равно (1 × 7¹) + (0 × 7⁰), или 7 + 0, или 7. Можно провести аналогичные операции и для других систем, и мы скоро убедимся, что в системе, основанной на каком-либо числе, выражение 10 соответствует именно этому числу. (В десятеричной системе 10, естественно, равно 10.)

В двенадцатеричной системе нам нужны отдельные цифры для каждого числа, меньшего 12, то есть 12 различных цифр, включая ноль. В семеричной системе нам нужны отдельные цифры для каждого числа, меньшего 7, то есть 7 различных цифр, включая ноль. Это правило справедливо для всех счетных систем. Скажем, в системе счета, основанной на 28, нам понадобятся 28 различных цифр, включая ноль.

Чтобы помочь вам глубже разобраться в этих правилах, я привожу таблицу символов для первых тридцати чисел в двенадцатеричной системе, в семеричной системе и в так хорошо нам знакомой десятеричной системе.

Считаем при помощи единиц и нулей

Для каждой счетной системы можно составить таблицы сложения и других арифметических действий. В двенадцатеричной системе 5 + 8 = 11, а 3 × 4 = 10. В семеричной системе 3 + 6= 12, а 5 × 3 = 21. Нам это может показаться странным, поскольку мы не используем подобные системы. Но если мы проводим все расчеты в рамках одной из таких систем, мы видим, что система также отвечает поставленным целям. Человечество остановилось на десятеричной системе по той простой причине, что на руках у человека десять пальцев, а вовсе не потому, что эта система более логична, чем любая другая.

Однако в отдельных случаях и для конкретных целей может оказаться, что какая-то система счета является гораздо более функциональной, нежели другие. Это справедливо в случае системы, основанной на 2, то есть двоичной системы.

Выражение 10 в двоичной системе равно 2 в десятеричной системе. Следовательно, в такой системе только две цифры, 0 и 1. На предыдущих страницах приведены символы для первых чисел такой системы и соответствующие эквиваленты десятеричной системы.

Перевод числа из двоичной системы в десятеричную не составляет труда. Рассмотрим, например, выражение 11001 в двоичной системе. Оно эквивалентно (1 × 2⁴) + (1 × 2³) + (0 × 2²) + (0 × 2¹) + (1 × 2⁰), или 16 + 8 + 0 + 0 + 1, или 25, что соответствует эквиваленту, приведенному в таблице.

Этот процесс можно упростить, если принять во внимание, что число 2, возведенное в степень, умножается либо на 0, и тогда результат тоже будет равен нулю и его можно не учитывать, либо на 1, и тогда это просто 2, возведенное в какую-то степень.

Таким образом, мы можем проставить порядковый номер справа налево, как это показано ниже маленькими цифрами:

Каждое маленькое число — это степень числа 2, определяемая положением цифры в числе, представленном в двоичной системе. Следует учитывать только те показатели степени, которые стоят против единиц. Показатели, стоящие против нулей, можно опускать. Используя такой подход, можно записать число 11001 как 2⁴ + 2³ + 2⁰, или 16 + 8 + 1, или 25.

Большие числа, такие как 1 110 010 100 001 001, можно переводить в десятеричную систему таким же образом.

Поскольку единицам соответствуют позиции 0, 3, 8, 10, 13, 14 и 15, то число будет равняться 2¹⁵ + 2¹⁴ + 2¹³ + 2¹⁰ + 2⁸ + 2³ + 2⁰, или 32768 + 16384 + 8192 + 1024 + 256 + 8 + 1, или 58 633.

Обратный перевод из двоичной системы в десятеричную не очень сложен, но более длителен. Предположим, число 1562 выражено в десятеричной системе. В двоичную систему его можно перевести следующим образом: