Числа: от арифметики до высшей математики

Таким образом, мы записали на бумаге те операции, которые уже тысячи лет производят на счетах. Если ряд единиц на счетах пометить как «ноль», ряды, расположенные выше ряда единиц, обозначаем как 1, 2, 3 и так далее, а ряды, расположенные ниже ряда единиц, соответственно обозначаем как -1, -2, -3, то каждый ряд соответствует показателю степени числа 10.

Все положения арифметики, которые мы изучали, используя арабские числа, можно легко объяснить при помощи этих степеней, чего обычно не делают в школах.

Мы потратим немного времени на то, чтобы разобраться с экспоненциальными числами, и в будущем это значительно облегчит нам работу с числами.

Вначале рассмотрим положительные степени числа 10. Заметим, что в данном случае экспонента равна количеству нулей обычного числа. Таким образом, если число нулей в 1 000 000 равно шести, то экспоненциальная форма этого числа 10⁶.

 Счеты, ряды которых обозначены в соответствии с показателем степени 10

 Теперь, когда нам понадобится выразить в экспоненциальной форме число, состоящее не только из единиц и нулей, нужно записать его в виде выражения, включающего 10 в какой-то степени. Например, масса Земли, как мы выяснили в начале главы, равна 6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм. Это число можно представить как 6 × 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм. Теперь самое большое число в выражении состоит из единицы и большого количества нулей, то есть его можно представить в виде степени. Поскольку количество нулей равно 27, то число можно записать в форме 10²⁷. Теперь массу Земли можно представить в экспоненциальном виде как 6 × 10²⁷ грамм.

Экспоненциальная форма выражения больших чисел предоставляет два очевидных преимущества. Во-первых, такая запись очень компактна, а во-вторых, ее проще прочесть — нет необходимости считать огромное количество нулей.

Для обозначения малых чисел используют 10 в отрицательной степени. Как видно из таблицы, число 10, возведенное в отрицательные степени, представляет собой обычные числа, десятичные дроби, состоящие из определенного набора нулей, расположенных правее десятичного знака и заканчивающихся единицей. Численное значение отрицательной экспоненты равно количеству нулей после запятой плюс 1. Например, число 0,000001 имеет пять нулей после запятой, следовательно, в экспоненциальной форме оно будет записано как 10^-6.

Масса атома водорода может быть выражена в виде произведения 1,66 × 0,000000000000000000000001 грамма. (Если вы произведете операцию умножения, то получите ту величину, которая приведена в начале главы.) Второй сомножитель представляет собой 10 в отрицательной степени, оно содержит 23 нуля справа от десятичного знака. Таким образом, в экспоненциальной форме оно будет записано как 10^-24. Масса атома водорода в 1,66 раза больше этой величины, следовательно, масса водорода равна 1,66 × 10^-24.

Числа, отличные от десяти

После того как мы научились использовать числа в экспоненциальной форме на основе 10, нам будет легко разобраться в экспоненциальной форме на основе других чисел. В начале нашей книжки я уже рассказывал вам о том, что в ряде случаев удобно использовать число 12 вместо 10, поскольку у числа 12 больше множителей, чем у числа 10. (У числа 12 есть и другие преимущества, помимо большого количества сомножителей.) Древние люди определяли время по луне. Каждые 29 или 30 дней всходила новая луна и, следовательно, начинался новый месяц. Таких месяцев в году, то есть в период от одной весны до другой, было 12, точнее, 12 месяцев и 11¼ дня. Это придало числу 12 определенное магическое значение, а в древности это было очень важно для человека. Существует 12 знаков зодиака, в каждом из которых Солнце пребывает по одному месяцу при своем кажущемся вращении вокруг Земли. Число знаков зодиака нашло свое отражение и в земных делах. Это 12 племен Израиля и 12 святых апостолов.

Если мы хотим использовать 12 как основу для счетной системы, нам понадобится двенадцать разных цифр, включая ноль. Этими цифрами у нас будут 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, @ и #. Я использую символы @ и # для обозначения тех чисел, которые в десятичной системе обозначаются как 10 и 11.

Число 222 в десятеричной системе, то есть в системе, основанной на 10, можно записать как (2 × 10²) + (2 × 10¹) + (2 × 10⁰). Такое же число в двенадцатеричной системе можно перевести в десятеричную систему, записав его следующим образом: (2 × 12²) + (2 × 12¹) + (2 × 12⁰). Проведем подсчеты и получим: 288 + 24 + 2, или 314. Другими словами, число 222 в системе, основанной на 12, то есть в двенадцатеричной системе, равно числу 314 в системе, основанной на 10, то есть в десятеричной системе.

В двенадцатеричной системе число можно записать, скажем, как 3#4. Это эквивалентно (3 × 12²) + (# × 12¹) + (4 × 12⁰). Мы с вами ранее условились, что # равно 11 в десятеричной системе, следовательно, получаем 432 + 132 + 4, или 568 в десятеричной системе.