Числа: от арифметики до высшей математики

До сих пор мы считали, что экспонента — это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты — это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить.

Возвращаемся к нулю и опускаемся ниже

Например, 16 : 8 = 2. Поскольку 16 = 2⁴, а 8 = 2³, следовательно, деление можно в экспоненциальном виде записать как 2⁴ : 2³ = 2, но если мы будем вычитать экспоненты, то 2⁴ : 2³ = 2¹. Таким образом, нам приходится признать, что 2 и 2¹ — это одно и то же, следовательно, 2¹ = 2.

То же правило применимо и к любому другому экспоненциальному числу, таким образом, можно сформулировать правило в общем виде: любое число, возведенное в первую степень, остается без изменения. То есть 5¹ = 5, 27¹ = 27 и так далее.

Но дальше все становится сложнее. Чему равно 8 : 8? Конечно, единице. Но 8 = 2³, следовательно 2³ : 2³ = 1. Но если мы вычтем экспоненты, получим ноль 2³ : 2³ = 2⁰. Значит ли это, что 2⁰ = 1? Кажется, так оно и есть.

Этот вывод, возможно, привел вас в изумление. Еще можно как-то понять смысл выражения 2¹ = 2, хотя выражение «одно число два, умноженное само на себя» звучит достаточно странно. Но выражение 2⁰ означает «ни одного числа два, умноженного само на себя», то есть кажется логичным, чтобы 2⁰ равнялось нулю. Возможно, это и логично, но математики отнюдь не следуют правилам обычной повседневной логики. Вас это шокирует? Математики руководствуются общими закономерностями и необходимостью взаимной совместимости постулатов. Иными словами, математики могут принять самые невероятные правила, которые с обывательской точки зрения могут показаться просто безумными. Но эти правила не должны противоречить одно другому, какие бы результаты ни получались. Правило сложения и вычитания экспонент работает настолько хорошо, что если для того, чтобы его применять, необходимо, чтобы 2⁰ = 1, значит, так и должно быть. Мы просто принимаем, что утверждение 2⁰ = 1 верно.

Если мы будем не 2³ делить на 2³, а 6³ будем делить на 6³, то опять получим, что 6⁰ = 1. Мы можем проверить одно число за другим, и каждый раз будем получать один и тот же результат: любое число в степени 0 равно 1.

Пойдем дальше. При делении 64 на 128 мы получаем ответ 64/128, или 1/2. В экспоненциальной форме наша задача приобретает такой вид: 2⁶: 2⁷. Ответ 2^-1, или 1/2 , или, в экспоненциальной форме, (1/2)¹.

Аналогично 32 : 128 = (1/4). В экспоненциальной форме наша задача приобретает такой вид: 2⁵ : 2⁷. Ответ 2^-2, или 1/4, или, в экспоненциальной форме, (1/2)².

Можно привести еще множество примеров, и каждый раз мы обнаружим, что отрицательная экспонента становится положительной при переходе к обратному числу. Другими словами, 4^-7= (1/4)⁷, а 10^-3= (1/10)³. Это правило справедливо для любых чисел. 6⁴ = (1/6)^-4.

Я могу привести вам несколько примеров, которые продемонстрируют, что такое толкование понятия «экспонента» непротиворечиво. Давайте проверим, равны ли выражения 6^-4 и (1/6)⁴? Выражение (1/6)⁴ можно представить в виде 1 : 6⁴. Но 1 равна 6⁰, таким образом, наше выражение приобретает вид 6⁰ : 6⁴. Вычитаем экспоненты и получаем 6^-4, как и следовало ожидать. 

А как доказать, что 6⁰ действительно равно 1? Как по вашему, чему равно 36 × 1/36? Это очень просто: 36 × 1/36 = 1, это не вызывает никаких сомнений. Но 36 = 6², тогда 1/36 = (1/6)² или 6^-2. Теперь выражение 36 × 1/36 приобретает вид 6² × 6^-2, и если мы сложим экспоненты, то получим 6⁰, то есть 1.

Разумеется, наши примеры, строго говоря, не являются доказательствами. Математики назвали бы их просто круговыми рассуждениями. (Вот пример такого кругового доказательства. Вы утверждаете: «Кошкой называется любое животное, которое мяукает», и отсюда делаете вывод: «Животное, которое мяукает, называется кошкой».) Тем не менее эти примеры демонстрируют, что система операций с экспонентами является логичной.

Мы можем продемонстрировать это и другим путем, например составив перечень некоторых экспоненциальных чисел. Начнем с иллюстрации хорошо известного определения чисел, которые перемножаются сами на себя.

2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

2³ = 2 × 2 × 2 = 8

2² = 2 × 2 = 4

Теперь перемножим левый и правый столбики этих выражений, опустив средний столбик, то есть двойки, перемноженные сами на себя. Мы видим, что при уменьшении показателя степени на единицу результат уменьшается вдвое.

Давайте продолжим этот столбик вниз, в направлении уменьшения экспоненты, и получим:

2¹ = 2

2⁰ = 1

2^-1 = 1/2

2^-2 = 1/4

2^-3 = 1/8