Числа: от арифметики до высшей математики

Греки подошли к задаче с более общих позиций. Им важно было найти закономерность, то есть соотношение длин сторон прямоугольника и длин диагонали для любого прямоугольного треугольника.

Как гласит история, великий греческий математик Пифагор такую закономерность открыл. Он установил, что для любого прямоугольного треугольника верно следующее утверждение: сумма квадратов сторон равна квадрату гипотенузы. Это утверждение получило название теоремы Пифагора. Теорема до сих пор носит имя великого грека, хотя теперь мы знаем, что еще за 600 лет до Пифагора древним китайцам уже было известно это соотношение.

Проверим теорему для треугольника со сторонами 3 и 4. Квадрат одной из сторон равен 3 × 3 = 9, квадрат другой стороны равен 4 × 4 = 16. Сумма квадратов равна: 9 + 16 = 25, то есть квадрат гипотенузы равен 25, следовательно, гипотенуза равна 5.

Рассмотрим другой треугольник со сторонами 5 и 12.

Сумма квадратов сторон этого треугольника равна 5 × 5 + 12 × 12 = 25 + 144 = 169. Следовательно, 169 — это квадрат гипотенузы. Тогда гипотенуза равна √169, или 13, поскольку 13 × 13 = 169.

Для этого треугольника соотношение гипотенузы к стороне равно 13/5 для короткой стороны и 13/12 для длинной стороны.

Теорема Пифагора

Используя теорему Пифагора, можно найти соотношение гипотенузы и любой из сторон любого прямоугольного треугольника. Математики Древней Греции могли вздохнуть спокойно, задача была решена. Самое главное заключалось в том, что теорема распространялась на все прямоугольные треугольники, в том числе, разумеется, и на равносторонние, то есть на прямоугольные треугольники, у которых обе стороны равны. А нас сейчас интересуют именно такие треугольники.

Один из них представлен на рисунке.

Равносторонний прямоугольный треугольник

Максимально упростим задачу и предположим, что стороны треугольника равны 1. Тогда квадрат стороны равен 1 × 1, а сумма квадратов сторон равна 1 × 1 + 1 × 1 = 2. Согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен 2, а гипотенуза равна соответственно √2.

Казалось бы, теперь грекам осталось сделать совсем немного. Надо было только найти такую дробь, которая являлась бы √2, а потом представить ее в виде соотношения целых чисел, и можно праздновать победу. Но все оказалось гораздо сложнее.

Дроби, которых не существует

Ранее в этой главе мы с вами показали, что 1²/₅ близко к √2. Если бы оно точно равнялось √2, задача была бы решена. Тогда соотношение 1²/₅/1, которое можно превратить в соотношение целых чисел 7/5, умножив верхнюю и нижнюю части дроби на 5, и было бы искомой величиной.

Но, к сожалению, 1²/₅| не является точной величиной √2. Более точный ответ, 1⁴¹/₁₀₀, дает нам соотношение 141/100. Еще большей точности мы достигаем, когда приравниваем √2 к 1²⁰⁷/₅₀₀. В этом случае соотношение в целых числах будет равно 707/500. Но и 1²⁰⁷/₅₀₀ не является точным значением корня квадратного из 2. Греческие математики потратили массу времени и сил, чтобы вычислить точное значение √2, но это им так и не удалось. Они не смогли представить соотношение √2/1 в виде соотношения целых чисел.

Наконец, великий греческий математик Евклид доказал, что, как бы ни увеличивалась точность подсчетов, получить точное значение √2 невозможно. Не существует такой дроби, которая, будучи возведена в квадрат, даст в результате 2. Говорят, что первым к этому заключению пришел Пифагор, но этот необъяснимый факт настолько поразил ученого, что он поклялся сам и взял со своих учеников клятву хранить это открытие в тайне. Однако, возможно, эти сведения не соответствуют действительности.

Но если число √2/1 не может быть представлено в виде соотношения целых чисел, то и никакая дробь, содержащая √2, например √2/2 или 4/√2, также не может быть представлена в виде соотношения целых чисел, поскольку все такие дроби могут быть преобразованы в √2/1, умноженное на какое нибудь число. Так, √2/2 = √2/1 × 1/2. Или √2/1 × 2 = 2√2/1, что можно преобразовать, умножив верхнюю и нижнюю части на √2, и получить 4/√2. (Не следует забывать, что независимо от того, что представляет собой число √2 , если мы умножим его на √2, то получим 2.)

Поскольку число √2 нельзя представить в виде соотношения целых чисел, оно получило название иррационального числа. С другой стороны, все числа, которые можно представить в виде соотношения целых чисел, называются рациональными. Рациональными являются все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные.

Как оказалось, большинство квадратных корней являются иррациональными числами. Рациональные квадратные корни есть только у тех чисел, входящих в ряд квадратных чисел, о которых мы говорили в шестой главе. Эти числа называются также идеальными квадратами. Рациональными числами являются также дроби, составленные из этих идеальных квадратов. Например, √(1⁷/₉) является рациональным числом, так как √(1⁷/₉) = √16/√9 = 4/3 или 1¹/₃ (4 — это  корень квадратный из 16, а 3 — корень квадратный из 9).