Числа: от арифметики до высшей математики

Теперь рассмотрим куб, то есть трехмерную фигуру, у которой есть длина, ширина и высота, причем все они равны между собой. Примером кубов для вас могут быть кубики для какой-нибудь настольной игры или игральные кости. Объем куба вычисляется перемножением длины, ширины и высоты. Доказать это можно с помощью той же методики, которой мы пользовались в третьей главе, вычисляя площадь квадрата или прямоугольника, когда перемножали длину и ширину.

Объем куба со стороной, равной единице, равен соответственно одной кубической единице (1 × 1 × 1 = 1). Объем куба со стороной, равной 2, равен соответственно 2 × 2 × 2 = 8, или восьми кубическим единицам. Можно продолжить такие вычисления, и тогда мы получим, что объем кубов со сторонами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее равен соответственно 1, 8, 27, 64, 125, 216 и так далее. Эти числа можно представить в виде 1 × 1 × 1; 2 × 2 × 2; 3 × 3 × 3; 4 × 4 × 4; 5 × 5 × 5; 6 × 6 × 6 и так далее.

И квадраты, и кубы легко представить, так как мы часто встречаем такие фигуры в обыденной жизни. Но можно отойти от геометрических представлений и составить числовой ряд, где каждое число является произведением четырех, пяти, или шести, или любого другого количества одинаковых сомножителей.

Последовательное перемножение одного и того же числа на себя самое является операцией, которая очень часто используется в математике. В свое время, когда мы рассматривали повторные многократные операции сложения, мы ввели новое понятие и новую математическую операцию — умножение. Например, мы заменили 6 + 6 + 6 + 6 на 6 × 4. Точно так же часто используемую операцию умножения 6 × 6 × 6 × 6 можно кратко записать при помощи нового символа, степенного выражения: 6⁴.

Что означает 6⁴? Только то, что мы перемножаем число 6 на само себя четыре раза, или 6 × 6 × 6 × 6. Число 10⁵ — это 10 × 10 × 10 × 10 × 10, а 3² — это 3 × 3.

Можно записать ряд квадратов чисел (1², 2², 3², 4², 5², 6², 7² и так далее) и ряд кубов чисел (1³, 2³, 3³, 4³, 5³, 6³, 7³ и так далее).

Число, которое набрано мелким шрифтом справа вверху от основного числа, называется показателем степени, или экспонентой. Число, содержащее экспоненту, называется экспоненциальным числом. Число, которое возводят в степень, то есть умножают само на себя, называют основанием экспоненциального числа. В выражении 6⁴ число 6 — это основание, 4 — экспонента.

Повторное перемножение числа на самое себя называется возведением в степень. Так, 6⁴ — это шесть в четвертой степени, аналогично 10⁵ — это десять в пятой степени. Можно также сказать просто: шесть в четвертой или десять в пятой. 3² и 3³ можно назвать как три во второй или три в третьей, но чаще, следуя греческой традиции, их называют три в квадрате или три в кубе.

Как обойтись без умножения?

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 — это 4 × 4, а 64 — это 4 × 4 × 4. То есть 16 на 64 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2 × 2 × 2 × 2, а 64 как 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем экспоненциальные выражения. 16 = 4², или 2⁴, 64 = 4³, или 2⁶, в то же время 1024 = 64 × 16 = 4⁵, или 2¹⁰.

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4² × 4³ = 4⁵ или 2⁴ × 2⁶ = 2¹⁰, и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что каждый раз правило сложения показателей степени, или экспонент, при умножении справедливо, разумеется, при том условии, что основания комплексных сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2⁴ × 2² × 2¹⁴ = 2²⁰, а 84 × 87 = 7308.

Это правило справедливо также и при делении, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого. Таким образом, 2⁵ : 2³ = 2², что в обычных числах равно 32 : 8 = 4, то есть 2².

С первого взгляда может показаться, что такой метод не очень удобен, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2³ и 24, но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8 × 9 — это 2³ × 3², и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2⁵ и ни 3⁵ не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огромные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Для того чтобы легче было двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим понятие экспоненты и попробуем дать ей более обобщенное толкование.