Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Вот как на это можно смотреть. Если бы 0,9999… было числом, отличным от 1, то между ними был бы некий интервал на числовой прямой. А тогда было бы возможно втиснуть в этот интервал еще какое-то число — число больше 0,9999… и меньше 1. Но что это могло бы быть за число? Подобраться к 1 ближе, чем 0,9999…, нельзя. Таким образом, если 0,9999… и 1 неразличимы, то они должны совпадать. Сколь бы странным такое ни казалось, 0,9999… = 1.

Так какое же самое большое число, меньшее единицы? Единственное удовлетворительное заключение, которое можно сделать, исходя из этого парадокса, состоит в том, что самого большого числа меньше единицы не существует.

* * *

Парадокс, связанный с гонкой Ахилла за черепахой, разрешился, когда мы записали продолжительности его «шагов» как сумму с бесконечным числом слагаемых. Такие суммы известны также как бесконечные ряды. При сложении членов бесконечного ряда возможны два случая в зависимости от того, конечным или бесконечным будет предел, то есть то число, к которому сумма подходит все ближе и ближе по мере прибавления все новых членов. Если предел конечный, то ряд называется сходящимся. Если нет — ряд называется расходящимся.

Например, мы видели, что ряд

сходится, и сходится он к числу 2. Кроме того, много рядов, как мы видели, сходятся к числу π.

Напротив, ряд

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…

расходится, устремляясь в бесконечность.

Когда я учил математику, одним из моих любимых упражнений было занятие с бесконечными рядами, состоявшее в выяснении того, сходится данный ряд или расходится. Меня всегда поражало, что при всем колоссальном различии между сходимостью и расходимостью — различии между конечным числом и бесконечностью, отличающимися на бесконечность, — детали, определяющие поведение ряда, порой кажутся совершенно несущественными.

Взглянем на гармонический ряд:

Числитель каждого из членов здесь равен 1, а знаменатели — просто все натуральные числа. С виду ряд должен бы сходиться. Каждый следующий член в этом ряду делается все меньше и меньше, так что можно было бы ожидать, что сумма всех членов окажется ограниченной некоторым фиксированным числом. Однако же гармонический ряд — расходящийся, подобно замедляющейся, но не останавливающейся улитке. Сумма первых 100 членов ряда едва превышает 5. Сумма впервые превышает число 100 только после суммирования 15 092 688 622 113 788 323 693 563 264 538 101 449 859 497 членов. Эта упорная улитка будет продолжать свое движение к свободе, преодолевая любое заданное ей расстояние. В конце концов ряд достигнет миллиона, затем миллиарда, уходя все далее и далее к бесконечности. (Доказательство этого факта приводится в приложении 5 на сайте, посвященном этой книге.)

Гармонический ряд возникает при рассмотрении процесса укладки кирпичей. Пусть у вас имеются два одинаковых кирпича и вы желаете расположить их один на другом так, чтобы верхний кирпич выступал над нижним далеко, насколько возможно, но не падал. Для этого нужно положить верхний кирпич в точности на половину нижнего, как показано на рисунке, — так центр тяжести верхнего кирпича будет опираться на самый край нижнего.

А как же расположить три кирпича, спросим мы себя, чтобы суммарное их нависание было максимальным, но сама конструкция не опрокидывалась? Решение состоит в том, что самый верхний кирпич должен лежать на половине среднего, а средний — был бы сдвинут вдоль нижнего на четверть его длины, как показано на рисунке.

Продолжая в том же духе с большим числом кирпичей, мы получим общую закономерность: чтобы гарантировать максимальное суммарное нависание, самый верхний кирпич надо сдвинуть относительно второго на половину его длины, второй — на четверть длины третьего, третий — на одну шестую длины четвертого, а тот — на одну восьмую длины пятого и т. д. Получается «Пизанская башня» из кирпичей.

Как сложить кирпичи с максимальным нависанием так, чтобы они не опрокинулись

Полное нависание этой башни, представляющее собой сумму отдельных нависаний, дается следующим рядом:

что можно записать в виде