Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Великий «интернет-поиск мерсенновских простых», или GIMPS, в настоящее время связывает около 75 000 компьютеров. Часть из них стоит в научно-исследовательских учреждениях, другие — в офисах, а некоторые — дома у энтузиастов поиска. GIMPS был одним из первых проектов «распределенных вычислений» и оказался одним из наиболее успешных. (Самый масштабный из подобных проектов — SetiKhome, который занят расшифровкой космического шума в поисках сигналов от внеземных цивилизаций. Утверждается, что в нем участвуют три миллиона ученых, правда, они до сих пор ничего не открыли.) Спустя всего лишь несколько месяцев после запуска GIMPS 29-летний французский программист поймал в свои сети 35-е простое число Мерсенна, 2^1398269 - 1. С тех пор GIMPS обнаружил еще 11 мерсенновских простых, что соответствует в среднем одному числу в год. Мы живем в золотой век больших простых чисел.

На настоящий момент рекорд самого большого простого числа удерживает 45-е простое число Мерсенна, 2^43112609 - 1 — это число, в котором почти 13 миллионов цифр, найдено в 2008 году на компьютере, подсоединенном к GIMPS, в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. Простые числа Мерсенна, найденные по счету 46-м и 47-м, оказались меньше 45-го. Это произошло потому, что различные компьютеры с различными быстродействиями одновременно работают на различных участках числовой прямой, и может так случиться, что простые числа на более далеком ее участке будут открыты раньше, чем на более близком.

Проект GIMPS стал примером массового добровольного сотрудничества в целях научного прогресса, и это сделало его символом свободного Интернета. Уолтман, даже не помышляя ни о чем подобном, превратил поиск простых чисел в квазиполитическое предприятие. С целью подчеркнуть символическую важность этого проекта Фонд электронных рубежей (Electronic Frontier Foundation, EFF) — группа, ведущая кампанию за цифровые права, — начиная с 1999 года предлагает денежное вознаграждение за каждое новое простое число, количество цифр в котором достигнет следующего порядка величины. Первым простым числом, добравшимся до 10 миллионов цифр, оказалось 45-е простое число Мерсенна, призовая сумма за него составила 100 000 долларов. Фонд EFF предлагает 150 000 долларов за первое простое число, состоящее из 100 миллионов цифр, и 250 000 долларов за первое, состоящее из миллиарда. Если нанести на график самые большие простые числа, полученные за все последние годы начиная с 1952-го, то в логарифмическом масштабе, как показано ниже, эти числа выстроятся почти в прямую линию. Эта прямая показывает, как замечательным образом постоянно возрастала мощь процессоров, а кроме того, позволяет оценить, когда будет открыто первое простое число, состоящее из миллиарда цифр. Бьюсь об заклад, это открытие произойдет ближе к 2025 году.

Число цифр в наибольших известных простых числах в различные годы

При том что простых чисел бесконечно много (хотя бесконечно ли количество мерсенновских простых — пока не известно), поиск все больших и больших простых — задача, конца которой нет. Какого бы простого числа мы ни достигли, и не важно, насколько большого, всегда найдется еще большее простое число — дразнящее нас и бросающее вызов.

* * *

Продолжение, которому нет конца, — самая, пожалуй, глубокая и многообещающая идея в фундаментальной математике. Человеческое сознание с трудом воспринимает понятие бесконечности. Например, что случится, если мы начнем считать 1, 2, 3, 4, 5 и никогда не остановимся? Я помню, как ребенком задавал этот с виду простой вопрос — и не получал ясного ответа. Как правило, я слышал от родителей и школьных учителей, что вот тогда мы доберемся до «бесконечности», что есть, по сути, лишь перефразировка самого вопроса.

Тем не менее нам с относительного юного возраста внушают мысль, что с бесконечностью можно обращаться как с числом — необычным, но тем не менее числом. Нам показывают обозначение для бесконечности — горизонтальную замкнутую петлю («лемнискату») и знакомят нас с ее необычной арифметикой. Прибавление любого конечного числа к бесконечности дает бесконечность. Вычитание любого конечного числа из бесконечности дает бесконечность. Умножение или деление бесконечности на конечное число, если только это не нуль, снова дает бесконечность. Легкость такого обращения с бесконечностью как с числом скрывает более двух тысячелетий борьбы за то, чтобы найти общий язык с ее тайнами.

* * *