Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Автор встречает лондонца с клешней, утверждающего, что он разгадал секрет красивых зубов.

Как-то раз, когда я был в гостях у Эдди Левина, дантиста на пенсии, он дал мне листок бумаги и попросил написать мое имя заглавными буквами. Левину 75 лет, у него чопорный вид, седые волосы топорщатся над продолговатым лбом. Он живет в северном Лондоне — на улице, которая является образчиком тех пригородов, где селятся преуспевающие и консервативные британцы. Я взял листок и написал: ALEX BELLOS.

Левин взял инструмент из нержавеющей стали, по виду напоминавший небольшую клешню с тремя зубцами. Твердой рукой он приложил ее к листу бумаги и принялся анализировать мою надпись. Он установил свой инструмент над буквой E в моем имени, при этом он был так сосредоточен, что ему позавидовал бы и раввин, делающий обрезание.

— Неплохо, — сказал он.

Этот инструмент — собственное изобретение Левина. Три зубца расположены так, что, когда инструмент раскрыт, их концы остаются на одной линии, причем расстояния между ними находятся в том же отношении друг к другу, как когда инструмент закрыт. Левин разработал его таким образом, что расстояние между средним и верхним зубцами всегда в 1,618 раз больше расстояния между средним и нижним. Поскольку данное число более известно как золотое сечение, он назвал свой инструмент калибром золотого сечения. (Среди других синонимичных названий числа 1,618 имеются золотая пропорция, божественная пропорция и φ, или фи.) Левин наложил свой калибр на написанную мной букву E так, чтобы кончик одного зубца пришелся на верхнюю горизонтальную черту в букве E, кончик среднего — на среднюю горизонтальную черту, а нижний оказался бы на нижней черте. Я полагал, что, выписывая заглавную букву E, я помещаю среднюю черту на равном расстоянии между верхом и низом, но калибр Левина продемонстрировал, что я бессознательно помещаю черту несколько выше середины — так, что она разбивает полную высоту буквы на два отрезка, отношение длин которых равно 1,618. Хотя я написал свое имя довольно небрежно, не успев ни о чем подумать, тем не менее оказалось, что я попал в число соблюдающих золотую пропорцию с поразительной точностью.

Левин улыбнулся и перешел к букве S. Он перенастроил свой калибр так, что зубцы касались самого верхнего и самого нижнего окончания буквы S, и, к моему полному изумлению, средний зубец попал точно на изгиб в букве S.

Точное попадание, — спокойно заметил Левин. — В почерк каждого человека заложена золотая пропорция.

* * *

Золотая пропорция — это число, которое описывает отношение, возникающее при делении отрезка на две части таким образом, что отношение всего отрезка к большему из двух равно отношению большего к меньшему. Другими словами, когда отношение А + В к А равно отношению А к В:

Деление отрезка на две части указанным образом называется золотым сечением. При этом число фи — отношение между большим и меньшим отрезками — можно вычислить, и оно равно (1 + 5√2√2√2√2)/2. Это иррациональное число, десятичное разложение которого начинается как

1,61803398874989484820…

Древних греков зачаровывало число фи. Они познакомились с ним, рассматривая пятиконечную звезду (пентаграмму), которая являлась почитаемым символом Пифагорейского братства. Евклид писал о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении», он предложил метод построения правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Начиная с эпохи Возрождения это число интриговало как художников, так и математиков.

Пятиконечная звезда — мистический символ, рожденный в древности, — содержит в себе золотое сечение

Ключевой работой, посвященной золотому сечению, была написанная в 1509 году книга выдающегося итальянского математика францисканца Луки Пачоли (1445–1517) «Божественная пропорция», где описывались многие случаи появления этого числа из геометрических построений. Иллюстрировал книгу друживший с Пачоли Леонардо да Винчи. Итак, Пачоли пришел к выводу, что число фи — послание Бога, источник тайного знания о внутренней красоте вещей.

* * *

С математической точки зрения число фи интересно еще и потому, что оно связано с самой знаменитой последовательностью в математике — последовательностью Фибоначчи. Эта последовательность начинается с чисел 0 и 1, а далее каждый следующий член представляет собой сумму двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Вот как получаются эти числа: