Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Первым, кто показал, что если иметь дело с бесконечностью, то могут возникнуть проблемы, был греческий философ Зенон Элейский (490 до н. э. — 430 до н. э.). В одном из своих знаменитых парадоксов он описал теоретическую гонку между Ахиллом и черепахой. Ахилл быстрее черепахи, поэтому черепаха при старте имеет фору. Прославленный воин начинает движение из точки А, а бросившая ему вызов рептилия — из точки В. Ахилл устремляется вперед и вскоре достигает точки В, но к тому моменту, как он туда добирается, черепаха уже продвинулась в точку С. Ахилл мчится в точку С. Но опять, когда он достигает этой точки, черепаха уже продвинулась вперед до точки D. Ахиллу надо, конечно, добраться до D, но, когда он туда попадает, черепаха уже будет в точке E. Зенон утверждает, что эта игра в «догонялки» будет продолжаться вечно, и поэтому быстроногий Ахилл никогда не обгонит неторопливого четвероногого соперника.

Как и в приведенном парадоксе, во всех парадоксах Зенона явно абсурдные заключения получаются в результате бесконечного разбиения непрерывного процесса движения на дискретные события. Ахиллу, прежде чем он сможет догнать черепаху, надо совершить бесконечное число дискретных «шагов». Парадокс возникает из допущения, что невозможно совершить бесконечное число «шагов» за конечное время.

У древних греков, впрочем, не было глубокого математического понимания бесконечности, позволявшего заключить, что это предположение ошибочно. Можно совершить бесконечное число «шагов» за конечное время. Основное требование состоит в том, что эти «шаги» должны становиться все короче, а их прохождение — занимать все меньше времени, так что при этом как расстояние, так и время стремятся к нулю. Хотя это и необходимое условие, оно не является достаточным; «шаги» также должны уменьшаться достаточно быстро.

А теперь вернемся к Ахиллу и черепахе. Пусть, например, герой бежит со скоростью, в два раза превышающей скорость черепахи, и пусть точка В на один метр впереди точки А. Когда Ахилл достигает точки В, черепаха прошла полметра до С. Когда Ахилл достигает точки С, черепаха прошла еще четверть метра и попала в точку D и т. д. Полное расстояние в метрах, которое пробежит Ахилл, пока не догонит черепаху, равно

Если бы Ахиллу требовалась секунда, чтобы пройти каждый из этих «шагов», то прохождение всего расстояния заняло бы у него вечность. Но дело обстоит не так. Предположим, он бежит с постоянной скоростью, тогда ему понадобится секунда, чтобы пробежать метр, полсекунды — чтобы пробежать полметра, четверть секунды — чтобы пробежать четверть метра и т. д. Таким образом, время в секундах, которое потребуется ему для того, чтобы догнать черепаху, описывается той же самой суммой:

Когда и время, и расстояние описываются последовательностью, каждый член которой в два раза меньше предыдущего, их суммы одновременно сходятся к определенному конечному значению — в нашем случае к 2 секундам и 2 метрам. Итак, в конце концов выясняется, что Ахилл все же догонит черепаху.

Впрочем, не все парадоксы Зенона решаются с помощью математики бесконечных рядов. В «парадоксе дихотомии» бегун отправляется из А в В. Назовем первую точку, которую он пройдет после того, как выйдет из точки А, точкой С. Но чтобы попасть в С, он должен сначала пройти через точку, расположенную на полпути до С. Следовательно, С не может быть первой точкой, через которую он пройдет. Получается, нет никакой «первой точки», через которую проходит бегун, потому что всегда найдется точка, через которую он должен пройти до того. Если же нет первой точки, через которую проходит бегун, говорит нам Зенон, значит, бегун никогда не сможет сдвинуться с точки А.

Согласно легенде, для опровержения этого парадокса киник Диоген молча встал и прошел от А до В, тем самым продемонстрировав, что движение возможно. Но зеноновский парадокс дихотомии не удается так просто списать со счета. За два с половиной тысячелетия, в течение которых ученые чесали затылки, никто не смог полностью разрешить эту загадку. Часть проблемы состоит в том, что непрерывная линия не допускает адекватного представления последовательностью ни из бесконечного числа дискретных точек, ни из бесконечного числа малых интервалов. Подобным же образом непрерывный промежуток времени невозможно адекватно представить бесконечным числом дискретных временных интервалов. Концепции непрерывности и дискретности не хотят уживаться друг с другом.

Десятичная система предоставляет нам чудесный пример парадокса в духе Зенона. Каково самое большое число, меньшее единицы? Это не 0,9, потому что 0,99 больше него, но при этом меньше единицы. Но это и не 0,99, поскольку 0,999 еще больше, но все равно меньше единицы. Единственный возможный кандидат — это периодическая десятичная дробь 0,9999…, где многоточие означает, что девятки продолжаются неограниченно. Здесь-то и заключается парадокс. Искомое число не может быть равно 0,9999…, потому что 0,9999… совпадает с числом 1!