Введение в логику и научный метод

На данном этапе мы уже можем резюмировать первые полученные результаты относительно природы логической системы. Суждения могут быть доказаны посредством указания на отношения импликации между этими суждениями и некоторыми другими суждениями. Однако не все суждения той или иной системы могут быть доказаны, ибо в противном случае наше доказательство стало бы цикличным. При этом следует отметить, что суждения, являющиеся аксиомами в одной системе, могут быть доказаны в другой системе. Точно так же термины, неопределяемые в одной системе, могут быть определены в другой системе. Таким образом, то, что мы называли чистой математикой, является гипотетико-дедуктивной системой. Ее аксиомы служат в качестве гипотез, или допущений, и имплицируют остальные суждения. В целом, логическое отношение между аксиомами и теоремами является отношением подчиняющего к подчиненному. Если всю геометрию свести к одному суждению, то такое суждение будет условным, а его антецедентом будут именно аксиомы. Однако, как мы увидим, аксиомы также являются важной характеристикой формальной структуры системы, в которой элементами являются теоремы.

§ 2. Чистая математика. Иллюстрация

Вероятно, читатель знакомился с некоторыми примерами логических систем при изучении математики. К тому же мы уже рассмотрели подобный пример при обсуждении силлогизмов. Однако будет небесполезно сделать это заново. Рассмотрим следующие суждения, являющиеся аксиомами для особого вида геометрии.

Аксиома 1. Если А и В являются различными точками на плоскости, то существует по меньшей мере одна прямая, содержащая одновременно А и В.

Аксиома 2. Если А и В являются различными точками на плоскости, то существует не больше одной прямой, содержащей одновременно А и В.

Аксиома 3. Любые две прямые на плоскости имеют по меньшей мере одну общую точку этой плоскости.

Аксиома 4. На плоскости существует по меньшей мере одна прямая.

Аксиома 5. Всякая прямая содержит по меньшей мере три точки плоскости.

Аксиома 6. Все точки плоскости не принадлежат одной и той же прямой.

Аксиома 7. Ни одна прямая не содержит более трех точек плоскости.

Очевидно, что в данных аксиомах речь идет о точках и прямая на плоскости. На самом деле, если мы отбросим седьмую аксиому, то получим аксиомы, введенные Вебленом и Янгом для «проективной геометрии» на плоскости в их трактате по данному предмету. Читателю вовсе не обязательно что-либо знать о проективной геометрии, для того чтобы понять то, что будет сказано ниже. Чем же являются точки, прямая и плоскости? Читателю может показаться, что он знает, чем они являются. Он способен нарисовать точки и прямые с помощью карандаша и линейки, и, быть может, ему покажется, что в приведенных аксиомах делаются утверждения относительно свойств и отношений таких геометрических сущностей.

Это достаточно сомнительно, ибо свойства нарисованных на бумаге точек могут значительно отличаться от утверждаемых свойств. Однако в любом случае вопрос о том, согласуются ли реальные точки и прямые с тем, что утверждается в аксиомах, является вопросом прикладной, а не чистой математики. Следует отметить, что в самих аксиомах не говорится о том, чем на самом деле являются точки, прямые и т. д. Для того чтобы вывести следствия из данных аксиом, необязательно знать, что именно мы понимаем под терминами «точка», «прямая», «плоскость». Эти аксиомы имплицируют ряд теорем не в силу визуальной репрезентации, которую им может придать читатель, а в силу их логической формы. Точки, прямые и плоскости могут быть какими угодно сущностями, недетерминированными в любом отношении за исключением тех отношений, которые утверждаются в аксиомах.

Давайте поэтому отбросим всякую явную отсылку к точкам, прямым и плоскостям и, тем самым, элиминируем все апелляции к пространственной интуиции при выведении из этих аксиом ряда теорем. Предположим, в таком случае, что вместо слова «плоскость» мы будем использовать букву «S»; а вместо слова «точка» – фразу «элемент S». Очевидно, что если рассматривать плоскость (S) как набор точек (элементов S), то прямая может пониматься как класс точек (элементов), являющийся подклассом точек на плоскости (S). Следовательно, мы заменим слово «прямая» (line) выражением «1-класс». Таким образом, наш исходный набор аксиом обретает следующий вид:

Аксиома 1\'. Если А и В являются различными элементами S, то существует по меньшей мере один 1-класс, содержащий одновременно А и В.

Аксиома 2\'. Если А и В являются различными элементами S, то существует не более одного 1-класса, содержащего одновременно А и В.

Аксиома 3\'. Любые два 1-класса имеют по меньшей мере один общий элемент S.

Аксиома 4\'. В S существует по меньшей мере один 1-класс.

Аксиома 5\'. Каждый 1-класс содержит по меньшей мере три элемента S.

Аксиома 6\'. Все элементы S не принадлежат одному и тому же 1-классу.