Введение в логику и научный метод

или q» истинно в любом из перечисленных случаев: 1) р истинно и q истинно; 2) р ложно и q ложно; 3) р ложно и q ложно. Единственное, что может сделать данное суждение ложным, это ситуация, в которой р является истинным, a q ложным. Из этого следует, что «р имплицирует q» истинно в любом из первых трех перечисленных случаев. Однако если мы рассмотрим данные случаи подробнее, то должны будем признать, что до тех пор пока р ложно, «р имплицирует q» будет истинным безотносительно того, истинно или ложно q; и до тех пор, пока q истинно, «р имплицирует q» будет истинным безотносительно того, истинно или ложно р. Все это можно сформулировать несколько парадоксальным образом, сказав, что ложное суждение имплицирует любое суждение и что любое суждение имплицирует истинное суждение. Следовательно, каждое из следующих суждений должно быть истинным: «„2 + 2 = 5" имплицирует „Сакко и Ванцетти были казнены за убийство"» и «„Альфред Смит проиграл президентские выборы в 1928 году" имплицирует „углы у основания равнобедренного треугольника равны"».

Однако парадокс исчезнет, если читатель отбросит предубеждение, связанное с обыденным пониманием слова «импликация», и обратит внимание на то, что, согласно своему определению, в исчислении суждений оно обозначает нечто иное. Это различие проявляется в обозначении первого вида импликации термином «формальная», а второго – «материальная» [43] . (Иногда первая называется «следованием», «тавтологической импликацией» или «строгой импликацией».) Утверждение формальной импликации, как мы видели в первой главе, не подразумевает допущения фактической истинности или ложности двух суждений, а обозначает лишь то, что они связаны благодаря собственной структуре (которую они разделяют со всеми другими суждениями такой же формы) и что невозможно, чтобы имплицирующее суждение было истинным, а имплицируемое – ложным. Имя «материальная импликация» мы придаем тому факту, когда первое из двух суждений ложно или когда второе истинно. При этом указанные два вида импликации не являются несвязанными друг с другом. Формальная импликация силлогизма означает, что в любом частном выражении силлогизма присутствует материальная импликация между посылками и заключением. Однако данное рассмотрение не учитывает того факта, что в каждом силлогизме имеет место необходимость, основанная на элементе тождества, напрямую не присутствующем во всех других случаях употребления материальной импликации. Когда мы говорим: «Киты являются млекопитающими, и все млекопитающие обладают легкими, следовательно, киты обладают легкими», то здесь присутствует связь, которой нет в таком примере, как «„Данте родился в 1250 году" имплицирует „литий является металлом"», где истинность общего суждения обеспечивается за счет ложности первого и истинности второго. Однако здесь мы уже сталкиваемся с метафизическим вопросом о том, связаны ли все истины необходимым образом с конечной природой вещей.

Глава VII. Природа логической, или математической, системы

§ 1. Функция аксиом

Несмотря на то что вавилоняне и египтяне располагали большим количеством информации о затмениях Солнца и Луны, способах измерения земли и построения зданий, расположениях геометрических фигур в порядке симметрии и исчислении с целыми числами и дробями, в общем, считается, что у них не было науки обо всем этом. Идеей науки мы обязаны грекам.

Информация, состоящая из набора изолированных суждений, какими бы достоверными и исчерпывающими они ни были, не является наукой. Телефонный справочник, словарь, поваренная книга или строго упорядоченный каталог товара, проданного в универмаге, могут содержать точное знание, организованное в удобном порядке, однако мы при этом не считаем такие произведения научными трудами. Наука требует того, чтобы наши суждения формировали логическую систему, т. е. чтобы они состояли друг с другом в одном из рассмотренных выше отношений эквивалентности или контра-позитивности. Именно поэтому в данной главе мы продолжаем наше исследование природы доказательства, с тем чтобы прояснить некоторые родовые свойства дедуктивных систем. Мы увидим, что подобное исследование тождественно исследованию природы математики.

Вспомним, что ни одно суждение не может быть доказано экспериментальным методом. Читатель, без сомнения, знаком с теоремой Пифагора, согласно которой в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Без сомнения, ему доводилось доказывать ее в школе. Тем не менее, весьма вероятно, что в любой группе людей с высшим образованием найдется такой, который для доказательства данной теоремы станет использовать транспортир и линейку, с тем чтобы точно начертить нужные прямоугольные треугольники. Можно сказать, что в интересующем нас отношении данный индивид не сделал существенного прогресса по сравнению с методами древнеегипетских исследователей.