Введение в логику и научный метод

Некоторые примеры изоморфизма хорошо известны. Обычная карта является полезным инструментом, поскольку отношения между изображенными на ней точками имеют структуру, тождественную отношениям между пунктами на местности, которой соответствует карта. В физике мы можем наблюдать, как формула обратных квадратов применяется относительно электрического притяжения и отталкивания, равно как и относительно гравитационной силы. Это возможно потому, что данные различные предметные области обладают тождественной формальной структурой в отношении исследуемых свойств. Физика также обнаруживает, что этот же набор принципов применим относительно движения планет, падения слезинки и колебания маятника. Именно обнаруживаемый в различных предметных областях изоморфизм обусловливает современную теоретическую науку. Элементарное изображение «словаря» по переводу теорем евклидовой геометрии в теоремы неевклидовой геометрии можно найти в книге А. Пуанкаре «Основания науки». С абстрактной точки зрения эти разные геометрии обладают тождественной структурой.

Следует отметить, что две системы могут не обладать структурами, тождественными на всем их масштабе, но при этом иметь общие свойства. Евклидовы и неевклидовы геометрии обладают многими общими теоремами, и в то же время некоторые теоремы одной системы формально несовместимы с некоторыми теоремами другой системы. Из сказанного следует, что целиком две системы могут быть несовместимыми друг с другом, но при этом обладать общей подсистемой. Это можно проиллюстрировать следующим образом. Рассмотрим систему, детерминируемую аксиомами 1′—7′ Рассмотрим также систему, получаемую при замене 7′ на допущение 7′′ ни один l‑класс не содержит более четырех элементов S . Данные две системы не являются изоморфными, что видно из сравнения репрезентации первой системы (с. 218) с репрезентацией второй системы (с. 220). Тем не менее, все теоремы в обеих системах, выводимые из первых шести аксиом, будут одними и теми же. Система, детерминируемая аксиомами 1′—6′, таким образом, является общей подсистемой для несовместимых систем, детерминируемых аксиомами 1′—7′ с одной стороны, и аксиомами 1′—7′′—с другой.

Проведенное наблюдение имеет большую важность. Исследования в естественных науках зачастую подталкивают нас к мнению, что теория является истинной, потому что некоторое следствие этой теории было подтверждено. Тем не менее, точно такое же следствие может быть выведено и из альтернативной теории, несовместимой с данной. Поэтому мы не можем обоснованно утверждать истинность ни одной из двух теорий. Однако, будучи достаточно внимательными, мы можем обнаружить те допущения, которые являются общими для обеих теорий и на которые опираются тождественные следствия. Тогда можно будет установить также и то, какие из допущений, в силу которых данные теории являются разными, не согласуются с экспериментальными данными.

В отношении дедуктивных систем следует сделать еще одно замечание. Любая система по необходимости является абстрактной: она представляет структуру некоторых отдельных отношений и поэтому в ней не должны учитываться какие-либо другие отношения. Поэтому системы, изучаемые в физике, не включают в себя системы, исследуемые в биологии. Более того, как мы уже могли убедиться, система является дедуктивной не в силу какого-либо конкретного значения ее терминов, а в силу универсальных отношений между ними. Специфическое качество вещей, на которые могут указывать термины, само по себе не играет никакой роли в системе. Так, в теории теплоты не учитываются уникальные чувственные качества, демонстрируемые явлениями теплоты. Дедуктивная система, таким образом, является абстрактной вдвойне: она абстрагируется от специфических качеств предметной области, а также выбирает одни отношения и пренебрегает другими. Из этого следует, что различных систем может быть очень много, и каждая из них может быть исследована отдельно от остальных. Не исключено, что такая множественность систем может конституировать множество подсистем, относящихся к одной всеобъемлющей системе. Однако у нас недостаточно оснований, чтобы считать, что такая всеобъемлющая система на самом деле имеет место. В любом случае, для адекватного исследования любой из менее содержательных систем знания такой всеобъемлющей системы не требуется. Выходит, что человеческое знание о естественном мире возможно только потому, что естественный мир можно исследовать с помощью множества относительно автономных систем.

§ 4. Эквивалентность наборов аксиом

Мы уже сказали, что в любой дедуктивной системе некоторые суждения являются недоказуемыми в этой системе и что некоторые термины являются неопределимыми. Также мы сказали, что суждение, являющееся аксиомой в одной системе, может быть теоремой в другой. Теперь мы хотим проиллюстрировать сказанное.

Рассмотрим нижеследующие допущения относительно класса S ; его элементы: A, B, C и т. д., его l‑классы (или l‑подклассы ): a, b, c и т. д.