Введение в логику и научный метод

Мы представили миниатюрную математическую систему в виде гипотетико-дедуктивной науки. Проведенная дедукция никак не опирается на эксперимент, наблюдение или какие-либо элементы чувств. Читатель смог ощутить вкус чистой математики. Вопрос же о том, соответствует ли что-либо в существующем мире данной системе, требует эмпирического знания. Если окажется так, что нечто ей действительно соответствует, то такая часть реального мира должна обладать тем систематическим характером, который был символически выражен нами выше. При этом верифицировать то, что мир на самом деле содержит подобную структуру, мы сможем лишь в пределах погрешности используемой нами экспериментальной процедуры.

§ 3. Структурная тождественность, или изоморфизм

Теперь мы хотим показать, что абстрактное множество, подобное рассмотренному в предыдущем параграфе, может обладать более чем одной конкретной репрезентацией, и что эти различные репрезентации, являясь крайне непохожими по своему материальному содержанию, будут тождественными относительно логической структуры.

Допустим, существует банк, состоящий из семи партнеров. Чтобы обеспечить себя экспертной информацией относительно различных ценных бумаг, партнеры решают сформировать семь комитетов, каждый из которых будет исследовать отдельную область. При этом они соглашаются, что каждый из партнеров будет председателем одного комитета и что каждый из партнеров будет членом трех, и только трех, комитетов. Ниже приводится таблица комитетов и их членов, где для каждого комитета первый из перечисленных членов является председателем:

Видно, что данная таблица выполняет семь аксиом, если класс S рассматривать как банк, его элементы как партнеров, а 1-классы – как различные комитеты.

Предложим еще одну интерпретацию, которая, на первый взгляд, не имеет ничего общего с уже предложенными примерами. В приведенной ниже фигуре на каждой из семи линий расположено по три точки. Одна из линий согнута. Пусть каждая точка представляет элемент S, а каждое множество из трех точек, лежащих на одной линии, представляет 1-класс. Тогда выполняются все семь допущений.

Данная геометрическая модель является примером тех же формальных отношений, что присутствуют и в наборе чисел, и в таблице банковских комитетов, которую мы уже рассмотрели. Третья репрезентация находится на с. 214.

Рассмотрим три данные репрезентации. Мы обнаруживаем, что, во-первых, мы можем сопоставить один к одному каждый из элементов одной интерпретации с элементами других двух. Во-вторых, каждое отношение между элементами в одной интерпретации соответствует отношению с теми же логическими свойствами между соответствующими элементами других двух интерпретаций. Так, например, элемент 0 из нумерической интерпретации может быть сопоставлен с точкой А в геометрической интерпретации, а также с мистером Адамсом из банковской конторы; элемент 1 соответствует точке В, а также мистеру Брауну и т. д. А трехместное отношение между числами 0, 1, 3 (с. 218), в силу которого они принадлежат одной и той же группе, соответствует отношению между точками ABD, в силу которого они лежат на одной линии, а также отношению между Адамсом, Брауном и Смитом, в силу которого они находятся в одном комитете и т. д.

Две или более системы, связанные подобным отношением, называются изоморфными , или обладающими тождественной структурой или формой . Теперь мы можем предложить общее определение термину «изоморфизм» . Даны два класса: S с элементами a, b, c … и S′ с элементами a ′ , b ′ , c ′…; допустим, что элементы S могут быть взаимно однозначно сопоставлены с элементами S ′, так что, например, а соответствует а ′, b соответствует b ′ и т. д. Тогда, если для каждого отношения R между элементами S (таким, что, например, aRb ) существует отношение R ′ между соответствующими элементами S ′ ( a ′ R ′ b ′), то данные два класса являются изоморфными .

На данном этапе мы достаточно подготовлены для того, чтобы усвоить огромную важность математического метода как инструмента естественных наук. Во-первых, гипотеза, или набор допущений, может изучаться на предмет ее импликаций без постановки вопросов материальной истинности или ложности. Данное обстоятельство важно для понимания того, какие обязательства мы принимаем, соглашаясь с такой гипотезой. Во-вторых, абстрактно сформулированная гипотеза может обусловить более чем одну конкретную репрезентацию. Следовательно, изучая чистую математику, мы изучаем возможные структуры многих конкретных ситуаций. Тем самым мы обнаруживаем тот неизменный, или инвариантный фактор, присутствующий в ситуациях, которые по-разному ощущаются и претерпевают изменения. Наука иногда определяется как поиск системы (порядка или постоянства) среди непохожести и изменения. Идея изоморфизма является наиболее ясным выражением того, что имеется в виду под подобной системой.