Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

С одной стороны, сама простота идеи Эйлера делает ее необычной, и этого достаточно, чтобы рассуждения ученого удивляли — как нечто столь простое может привести к таким глубоким результатам? Кроме того, читатель согласится с нами в том, что расчеты Эйлера имеют абсолютно неожиданный результат: мы не могли и представить, что суммы четных степеней натуральных чисел будут связаны с числом π. Именно об этом писал Харди, говоря о неожиданности математических идей.

В идеях Эйлера четко прослеживается непреложность выводов. Увидев простые и безупречные рассуждения Эйлера, число π²/6, которому равна сумма чисел, обратных квадратам натуральных, кажется абсолютно неоспоримым и неизбежным.

Наконец, отчетливо видна экономичность, с которой действовал Эйлер: всего в нескольких строках он смог решить задачу, с которой не справились Лейбниц, братья Бернулли и, возможно, сам Ньютон. Решение Эйлера, несомненно, прекрасный пример того, что философ Джордж Сантаяна в своей книге «Постижение красоты» назвал «выражением экономичности»: из нашей способности ценить экономичность вещей постепенно рождается эстетическое восприятие.

Три качества, о которых писал Харди, связаны с тем, что Сантаяна в «Постижении красоты» называл «изобретательностью», или с тем, что математик Джан-Карло Рота именовал «способностью идеи озарять» — в главе «Феноменология математической красоты» (The Phenomenology of Mathematical Beauty) своей книги «Непрерывные мысли» (Indiscrete Thoughts) Рота использует слово enlightenment («озарение»). С одной стороны, Сантаяна напрямую связывал гениальность с глубиной: «Гений обладает способностью проникать в глубины вещей, чтобы извлечь оттуда некое значимое обстоятельство или взаимосвязь, позволяющие увидеть рассматриваемый объект в новом, более ярком свете». С другой стороны, согласно Рота, «озаряющая» идея проливает свет на понятия, с которыми она связана, или помогает лучше проанализировать и определенные математические задачи. Именно этими качествами обладает идея, которую использовал Эйлер при вычислении суммы чисел, обратных четным степеням натуральных чисел.

Эта способность математических идей озарять восхищала ученых, инженеров и архитекторов во все времена. Приведем слова архитектора Ле Корбюзье, которые он произнес при работе над проектом одного из домов: «Отсутствие правила, закона, бросилось мне в глаза. Это наполнило меня ужасом, так как я увидел, что работаю в полном хаосе. В тот момент я понял необходимость вмешательства математики, потребность в каком-то регуляторе. С того момента эта одержимость всегда занимала уголок в моем мозгу».

Бесконечное у Эйлера и возвышенное у Канта

Два последних раздела главы посвятим книге Эйлера «Введение в анализ бесконечно малых», откуда мы заимствовали примеры, которыми проиллюстрировали рассуждения Харди о красоте математики.

Во «Введении в анализ бесконечно малых» не описывается ни дифференциальное, ни интегральное исчисление. В этой книге, в соответствии с ее названием, Эйлер показывает читателю, как следует обращаться с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Он рассматривает элементарные функции с помощью бесконечных процессов: описывает представление функций в виде рядов и бесконечных произведений (впервые в истории математики), а также использует разложение функций для решения различных задач. Некоторые из них относятся к математическому анализу, например задача о вычислении сумм бесконечного числа слагаемых (примеры подобных задач мы привели в третьем разделе этой главы), другие же скорее относятся к теории чисел[11].

Метафизика бесконечного и способность Эйлера объяснять сделали «Введение в анализ бесконечно малых» одной из самых красивых книг в истории математики. Чуть позже мы расскажем, как эта прекрасная работа повлияла на один из фундаментальных трудов по эстетике — книгу «Критика способности суждения» немецкого философа Иммануила Канта, в частности эстетическую категорию возвышенного.

Чтобы ввести читателя в курс дела, вкратце расскажем о том, как понимал бесконечность Эйлер и что означают слова «бесконечно малые» в заглавии его книги. Эйлер не дал никакого определения бесконечно малым и бесконечно большим величинам, на которых основывались все понятия анализа в XVII, XVIII и большей части XIX века, а работал с ними на интуитивном уровне. Целью математика было обучить читателя работе с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, сформировать у него некоторое интуитивное представление об их особенностях.

* * *