Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Как мы уже говорили, Эйлер в своей книге работает с бесконечно малыми величинами интуитивно понятным образом — именно в этом и заключается его гениальность. Бесконечно малые величины опасны, и небрежная работа с ними может закончиться катастрофой. Для греков бесконечность была сродни ужасному чудовищу, от которого следовало спасаться бегством. Эйлер не сбежал: напротив, он приблизился к чудовищу, потрепал его за холку и надел на него ярмо, чтобы вспахать доселе бесплодную землю. В руках Эйлера бесконечность оказалась удивительно податливой. А учитывая, какой страх внушала она всем математикам, эта податливость потрясает до дрожи. Именно в этой способности потрясать до дрожи и заключается эстетическая ценность труда Эйлера. Немецкий философ Теодор Адорно утверждал, что эстетическая ценность объекта заключается именно в его способности вызывать потрясение и в некотором роде испуг. Эта идея прозвучала на знаменитой конференции под названием «Красота занятий математикой», которую для всех желающих провел Серж Ланг в парижском Дворце открытий в начале 1980-х. Ланг говорил о «дрожи в позвоночнике», которую вызывают красивейшие математические рассуждения.

Философ Иммануил Кант (1724–1804) был представителем нового поколения. Он родился и прожил почти всю жизнь в Кёнигсберге (ныне Калининград). Эйлер тоже имел отношение к Кёнигсбергу, хотя никогда не жил в этом городе: он родился в Базеле, занимался математикой в Санкт-Петербурге и Берлине. Однако именно Эйлер решил знаменитую задачу о семи мостах Кёнигсберга. В XVIII веке в городе было семь мостов, соединявших его части с островами на реке Прегель. Жители Кёнигсберга хотели узнать, можно ли обойти все мосты, не проходя ни по одному из них дважды. Эйлер путем простых, но очень наглядных рассуждений, которые позднее дали начало теории графов, показал, что искомого пути не существует.

Портрет Иммануила Канта (1724–1804), одного из ведущих философов в истории человечества.

Учитывая, какое определение Кант дает возвышенному, не будет преувеличением сказать, что источником его вдохновения могли стать рассуждения о бесконечно малых величинах, принадлежавшие Эйлеру или любому другому математику XVIII столетия, хотя Эйлер выразил силу бесконечно малых лучше остальных. «Возвышенно то, — писал Кант в «Критике способности суждения», — в сравнении с чем все остальное мало… Возвышенно то, одна возможность мыслить которое доказывает способность души, превосходящую любой масштаб чувств. Представляя возвышенное в природе, душа ощущает себя взволнованной, тогда как при эстетическом суждении о прекрасном она находится в состоянии спокойного созерцания. Эту взволнованность можно (особенно в ее первые минуты) сравнить с потрясением, то есть быстро сменяющимся отталкиванием и притяжением одного и того же объекта»[12].

Характеристики «в сравнении с чем все остальное мало» и «превосходит любой масштаб чувств», которые использует Кант в своем толковании возвышенного, есть не что иное, как выражение противоречащей здравому смыслу формулы N + 1 = N, описывающей свойство бесконечно больших величин. Эту формулу Эйлер не раз использовал в своем «Введении в анализ бесконечно малых». И это «волнение души» возникает в сердце математика тогда, когда он видит формулу N + 1 = N или замечает в знаменателе дроби величину, которая спустя две строки исчезает, обращаясь в ноль.

С другой стороны, кантовское «волнение» — это чувство, которое мы испытываем, когда видим, каких результатов добился Эйлер, применив удивительные свойства бесконечно малых величин. Читая рассуждения Эйлера, мы неизменно чувствуем «потрясение, то есть быстро сменяющееся отталкивание и притяжение одного и того же объекта», точнее, главных героев его книги — бесконечно малых величин.

Очарование географических открытий

Рассуждения Эйлера известны тем, что не отличаются особой логической строгостью. Поэтому в XIX веке математики решили заменить бесконечно большие и бесконечно малые величины понятием предела. Математические выкладки Эйлера не слишком точны. Однако это лишь первое впечатление: сегодня нам известно, что анализ, в котором используются бесконечно малые, столь же строг, как и современные рассуждения, в которых используются пределы. Строго говоря, логический фундамент анализа XVIII века сформировал Абрахам Робинсон в 1966 году. На основе теории моделей он показал, что вещественные числа можно расширить множеством бесконечно малых, с которыми производятся стандартные арифметические операции. Созданный им раздел математики получил название «нестандартный анализ».

Математик Абрахам Робинсон (1918–1974), автор нестандартного анализа.