Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Приняв n = 1, 2, 3, 4…, получим: 1 = 2 – 1; 1/3 = 1 – 2/3; 1/6 = 2/3 - 2/4; 1/10 = 2/4 - 2/5; 1/15 = 2/5 - 2/6; 1/21 = 2/6 - 2/7 и так далее. Сложив указанные дроби, заметим, что вычитаемое в каждой разности и уменьшаемое в следующей разности сокращаются и в конце концов остается лишь уменьшаемое первой разности: 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + … = 2.

* * *

Однако найти сумму ряда не удалось ни Лейбницу, ни его ученикам, братьям Иоганну и Якобу Бернулли. Не сохранилось документальных свидетельств того, что этой задачей занимались Грегори или Ньютон, однако это не означает, что они обошли ее своим вниманием — возможно, их, как и других математиков, постигла неудача.

Прошло почти полвека, прежде чем Леонарду Эйлеру удалось найти сумму этого ряда. Идея, которую использовал Эйлер для сложения чисел, обратных квадратам натуральных, очень проста. Отправная точка его рассуждений такова: рассмотрим произведение вида (1 – 2z²)·(1 – 5z²)·(1 – 6z²), раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(1 – 2z²)·(1 – 5z²)·(1 – 6z²) = 1 - 13z² + 52z⁴ - 60z⁶.

* * *

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)

Эйлер был одним из величайших математиков всех времен и, вне всяких сомнений, лучшим в XVIII веке. Он родился в 1707 году в Базеле, окончил местный университет, брал частные уроки у Иоганна Бернулли — одного из учеников Лейбница.

В 1727 году он переехал в Санкт-Петербург, с 1731 по 1741 год был членом Петербургской академии наук, затем работал в Пруссии и был избран членом Берлинской академии наук. Несмотря на непростые отношения с прусским королем Фридрихом II, Эйлер прожил в Берлине 25 лет и в итоге возглавил академию наук. По словам Фридриха II, усилиями которого Берлин стал одним из культурных центров Европы, Эйлеру недоставало блеска, таланта и элегантности. Эйлер был простым человеком, лишенным качеств, необходимых для «салонной жизни», которую так любил король. В одном из писем к Вольтеру Фридрих II назвал Эйлера «огромным циклопом геометрии» — злая шутка о математике, который в 1738 году ослеп на один глаз. После Берлина Эйлер вновь вернулся в Санкт-Петербургскую академию наук и умер в Санкт-Петербурге в 1783 году.

О влиянии Эйлера на математику последующих эпох лучше всего скажет классическая фраза Лапласа: «Читайте, читайте Эйлера — он учитель всех нас!». Или процитируем Гаусса: «Изучение трудов Эйлера остается лучшей школой в различных областях математики и не может быть заменено ничем другим».

* * *

Нетрудно видеть, что число, которое умножается на z² в полученном выражении, равно сумме чисел, на которые умножается z² в левой части равенства. Также нетрудно показать, что это соотношение верно для любого числа сомножителей в этом произведении. Эйлер понял: все, что верно для конечных произведений и сумм, верно и для бесконечных. Иными словами, если мы запишем:

(1 - az²)·(1 - bz²)·(1 - cz²)·… = 1 - Az² + Bz⁴ - Cz⁶ +…,

то A = а + Ь + с + …