Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Рассмотрим пример. Если нажать на центральную клавишу пианино, мы услышим ноту «ля» частотой в 440 герц (колебаний в секунду). Если нажать на следующую «ля», расположенную на семь белых клавиш правее, новый звук будет иметь частоту в 880 герц. Разница между этими нотами (то есть интервал между ними) в музыке выражается дробью 880/440 = 2.

Этот интервал и является так называемой октавой. Две ноты, разделенные между собой интервалом в одну октаву (в нашем примере это нота «ля»), звучат одинаково, но явно различаются по высоте. Пифагор, во времена которого пианино еще не существовало, обнаружил этот факт, играя на одной струне: если зажать струну точно посередине, то полученная нота будет той же, что и для всей струны.

Этот строй идеально подходил для струнных инструментов, но с его помощью нельзя было качественно измерить небольшие различия между нотами, например диезы и бемоли. Это привело к появлению так называемого равномерно темперированного строя: в него наряду с обычными нотами включены диезы и бемоли. Это делается с помощью равных интервалов. Соотношение частот между соседними интервалами равно ¹²√2. Полученный таким образом строй получил название темперированного.

Значение ¹²√2 получается следующим образом. Нам нужно разделить на 12 равных частей интервал длиной 2 (2 — это отношение частот в начале и конце интервала) так, чтобы отношение частот между соседними частями интервала было неизменным. Полученные частоты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем ¹²√2.

Ноты равномерно темперированного строя, слева направо: до, до-диез, ре, ре-диез, ми, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, си-диез, си, до. Ноты диатонического строя: до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до.

Последовательность из 12 интервалов, по одному на каждую ноту, выглядит так:

¹²√2, (¹²√2)², (¹²√2)³, (¹²√2)⁴, (¹²√2)⁵, (¹²√2)⁶, (¹²√2)⁷, (¹²√2)⁸, (¹²√2)⁹, (¹²√2)¹⁰, (¹²√2)¹¹, (¹²√2)¹² = 2 

В XVIII веке появилась новая система интервалов, в которой значение квинты было равно 600 + 300/π. Новый музыкальный строй относительно недавно был предложен Чарльзом Люси (род. в 1946) и носит его имя. Необходимо пояснить, что это отдельная, уже запатентованная система.

Другое музыкальное проявление числа π — возможность «услышать» его знаки: в Интернете можно найти программы, которые позволяют «сыграть число π». Для этого всем десяти цифрам присваиваются определенные ноты. Для каждой следующей цифры программа воспроизводит соответствующую ей ноту. Поскольку знаки π являются (или кажутся) случайными, то полученная композиция также будет случайной. Вероятнее всего, слушателю станет скучно слушать бесконечные цифры, но нельзя отрицать, что очень, очень длинная случайная композиция может звучать даже приятно. В диатоническом строе существует 7¹⁰ различных способов образовать мелодию из семи нот (в этом строе нет ни диезов, ни бемолей). В комбинаторике говорят, что существует 7¹⁰ сочетаний с повторениями. Из этого числа нужно вычесть последовательности из одной повторяющейся ноты, поскольку результат окажется особенно скучным. В зависимости от выбора ноты для каждой цифры существует семь вариантов генерации непрерывного шума.

Кино, литература и число π

Число π использовалось в кино тысячи раз, но, как правило, с его помощью лишь создают ореол таинственности в простых ситуациях, как, например, в фильме «Разорванный занавес» (Torn Curtain) Альфреда Хичкока, где π используется как кодовое слово в организации перебежчиков. Математическая природа π раскрывается редко, либо же это делается излишне эффектно и поверхностно, как в фильме «Пи» американского режиссера Даррена Аронофски, вышедшем на экраны в 1998 году. В основе фильма лежат приключения гениального математика Макса Коэна, который постепенно сходит с ума, одержимый числами. В этом фильме обыграно оккультное значение чисел, но математическая строгость неизменно уступает место драматическим эффектам.

Число π могло сыграть главную роль в научно-фантастическом фильме «Контакт» (1997) режиссера Роберта Земекиса с Джоди Фостер в роли астронома Элеонор Эрроу эй. К сожалению, все упоминания о π были исключены из финального варианта сценария. В оригинальном романе «Контакт» (1985) известного космолога Карла Сагана, на основе которого и снят фильм, число π настолько важно, что этот эпизод романа спровоцировал дискуссию в научном мире. Но не будем забегать вперед.

Плакат фильма «Пи» (вверху). В 1997 году Роберт Земекис экранизировал роман Карла Сагана «Контакт», в котором инопланетяне утверждают, что в знаках к спрятано таинственное сообщение.