Простая одержимость

И что самое замечательное, на приведенном рисунке Гипотеза Римана сияет во всем своем блеске. Смотрите: нетривиальные нули и в самом деле все выстроились на критической прямой. На рисунке 13.6 критическая прямая не проведена, но совершенно ясно, что она лежит посередине критической полосы, как разделительная полоса на шоссе.

VIII.

Еще пара картинок, прежде чем мы покончим с темой наглядного представления дзета-функции. Во-первых, заметим, что при продвижении вверх общая тенденция, наблюдаемая на рисунке 13.6, сохраняется в тех пределах, до которых мы можем добраться.

Для иллюстрации этого на рисунке 13.7 показан блок нулей вблизи точки ¹/₂ + 100i. Можно заметить, что они упакованы теснее, чем нули на рисунке 13.6. В действительности средний интервал между восемью показанными здесь нулями равен 2,096673119…, тогда как для пяти нулей, показанных на рисунке 13.6, средний интервал составлял 4,7000841…. Таким образом, здесь, наверху — в окрестности числа 100i на мнимой оси, — нули упакованы более чем в два раза плотнее, чем в окрестности числа 20i.

Рисунок 13.7. Более высоко расположенная область на плоскости аргумента.

Ha самом деле имеется правило, позволяющее найти средний интервал между нулями на высоте T в критической полосе. Этот интервал ~ 2π/ln (T/2π). Если T равно 20, то это выражение вычисляется как 5,4265725…. Если T равно 100, то оно равно 2,270516724…. Как можно видеть, правило не слишком точное, хотя знак волны говорит нам, что оно становится все точнее по мере того, как числа растут. Эндрю Одлыжко опубликовал список 10 000 нулей в окрестности числа ¹/₂ + 1370919909931995308897i. Там за 2π/ln (T/2π) дают что-то около 0,13516467, а среднее, вычисленное для 9999 интервалов, равно 0,13417894…. Не так плохо!

Остановимся на еще одном моменте, который окажется довольно важным в дальнейшем изложении. Имеется симметрия относительно вещественной (т.е. идущей с запада на восток) оси. Если продлить рисунок 13.6 на юг от вещественной оси, линии окажутся зеркальными отображениями линий из северной половины. Единственная разница состоит в том, что если вещественные числа, отмеченные на рисунке 13.6, будут одинаковыми на юге и на севере, то мнимые числа поменяют знак. Математически это выражается так, что если ζ(a + bi) = u + vi, то ζ(a − bi) = u − vi. Или, если по-настоящему использовать язык комплексных чисел, ζ(z') = ζ'(z). Важное следствие отсюда состоит в том, что если a + bi — нуль дзета-функции, то a − bi — тоже нуль.

IX.

И наконец, графическое представление Гипотезы Римана — или по крайней мере того факта, что на критической прямой полно нулей.

Чтобы разобраться в рисунке 13.8, вспомним, что рисунки 13.6 и 13.7 изображают плоскость аргумента. Функция комплексной переменной отправляет комплексные числа из одного множества (аргументы) в другое множество (значения). Поскольку комплексные числа располагаются на плоскости, можно представлять себе, что функция отправляет точки из одной плоскости (плоскости аргумента) в точки на другой плоскости (плоскости значений). Дзета-функция отправляет точку ¹/₂ + 14,134725i на плоскости аргумента в точку 0 на плоскости значений. Взглянем снова на рисунок 13.2. Там плоскость аргумента и плоскость значений показаны одновременно — как если бы это были наложенные друг на друга прозрачные пленки для проектора.

Рисунки 13.6 и 13.7 изображают плоскость аргумента; там указано, какие аргументы отправляются в интересные нам значения. Муравей Арг живет на плоскости аргумента — потому его так и назвали. Он бродит по этой плоскости, отмечая, какие точки отправляются в нули при применении дзета-функции. Он у нас путешествовал по странным кривым и завиткам, образованным точками, которые отправляются в чисто вещественные или чисто мнимые числа (т.е. точками, в которых дзета-функция имеет чисто вещественные или чисто мнимые значения). Будем говорить, что это — изображения плоскости аргумента типа «отсюда», имея в виду, что отсюда дзета-функция отображает во что-то интересное.

Альтернативным способом функцию можно представить, показав картинку типа «сюда» на плоскости значений.[115] Вместо того чтобы показывать, как это делалось на рисунках 13.6 и 13.7, какие аргументы отправляются в интересные нам значения (а такими у нас были чисто вещественные и чисто мнимые числа), можно дать картину плоскости значений, на которой будет показано, в какие значения отображаются интересующие нас аргументы.