Простая одержимость

При работе с функциями комплексной переменной полезно думать о комплексной плоскости как о бесконечно растяжимом резиновом листе, при этом спрашивая себя, что же функция делает с этим листом. По числам, выбранным на рисунке 13.2, можно видеть, что функция возведения в квадрат растягивает лист, закручивая его против часовой стрелки вокруг нулевой точки и одновременно вытягивая наружу. Число 2i, например, которое само по себе живет на положительной (северной) части мнимой оси, при возведении в квадрат отправляется в число −4, расположенное на отрицательной (западной) части вещественной оси, причем вдвое дальше от нулевой точки. В свою очередь −4 при возведении в квадрат растягивается до 16 (еще дальше от нуля) и попадает на положительную (восточную) часть вещественной оси. По правилу знаков число −2i, находящееся на отрицательной (южной) части мнимой оси, «докручивается» до числа −4. На самом деле, согласно правилу знаков, всякое[113] значение функции возведения в квадрат встречается дважды, возникая при двух аргументах: не будем забывать, что −4 есть квадрат не только числа 2i, но и числа −2i.

Бернхард Риман, обладавший, судя по всему, чрезвычайно развитым зрительным воображением, представлял себе это таким образом. Возьмем всю комплексную плоскость. Проведем разрез вдоль отрицательной (западной) части вещественной оси, остановившись в точке нуль. Теперь ухватимся за верхний край этого разреза и потянем его против часовой стрелки, поворачивая вокруг точки нуль, как будто туда встроен шарнир. Повернем этот край на 360 градусов. Теперь наш край разреза находится над растянутым листом, а другой край расположен прямо под ним. Проведем наш край через лист (для этого следует представить себе, что комплексная плоскость не только бесконечно растяжима, но и сделана из некоторого рода туманной субстанции, которая может проходить сама сквозь себя) и склеим оба края исходного разреза. Картинка у нас в голове теперь выглядит примерно так, как показано на рисунке 13.3. Вот что функция возведения в квадрат делает с комплексной плоскостью.

Рисунок 13.3. Риманова поверхность, отвечающая функции z².

Это вовсе не досужие изыски. На основе такого мысленного упражнения Риман развил целую теорию, впоследствии названную теорией римановых поверхностей. Она содержит ряд мощных результатов и дает глубокое понимание того, как ведут себя функции комплексной переменной. Она также соединяет теорию функций с алгеброй и топологией — двумя ключевыми областями математики XX столетия. А главное — она представляет собой типичный продукт дерзкого, бесстрашного и самобытного воображения, которым обладал Риман, — продукт одного из величайших умов, вообще когда-либо существовавших.

VI.

Я воспользуюсь гораздо более простым подходом для иллюстрации функций комплексной переменной. Позвольте представить моего друга, муравья по имени Арг; он перед вами на рисунке 13.4.

Рисунок 13.4. Муравей Арг.

Муравья Арга невероятно трудно разглядеть, потому что он имеет бесконечно малый размер. Но если бы мы могли его видеть, то обнаружили бы, что он выглядит совсем как обычный муравей — если уж быть точным, то как рабочий Camponotus japonicus — с соответствующим числом лапок, усиков и прочего. В одной из своих передних лапок, которую можно для удобства называть «рукой», муравей Арг держит приборчик вроде пейджера, или мобильного телефона, или одного из тех устройств для глобального позиционирования, что всегда сообщают вам, где именно вы находитесь. На этом приборчике (рис. 13.5) имеются три окошка. В первом окошке, под которым написано «функция», показано название некоторой функции: z², ln z и т.д. — в общем, на приборчике можно выставить любую функцию. Во втором окошке, под которым написано «аргумент», показана точка — т.е. комплексное число, — на которой муравей Арг стоит в данный момент. И в третьем окошке, с подписью «значение функции», показано значение выбранной функции при данном аргументе. Таким образом, муравей Арг всегда точно знает, где находится; а для любой заданной функции он знает, кроме того, куда данная функция отправляет точку, на которой он стоит.

Рисунок 13.5. Муравьиный приборчик.

Моя задача состоит в том, чтобы показать вам дзета-функцию, И поэтому я собираюсь отправить муравья Арга свободно бродить по комплексной плоскости.[114] Когда в окошке «значение функции» показан нуль, это значит, что Арг стоит на точке («аргументе»), которая является нулем дзета-функции. Я договорюсь с ним, чтобы он отмечал эти точки волшебным маркером, который он носит в маленьком кармашке на брюшке. Тогда мы сможем узнать, где располагаются нули дзета-функции.