Читаем Логика для всех. От пиратов до мудрецов полностью

Решение. Перечислим тройки натуральных чисел с произведением 36: 1, 1, 36; 1, 2, 18; 1, 3, 12; 1, 4, 9; 1, 6, 6; 2, 2, 9; 2, 3, 6; 3, 3, 4. Суммы чисел в этих тройках равны соответственно 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11, 10. Если бы номер дома встречался среди сумм единственный раз, второй математик сразу бы определил возраста сыновей. Но он не смог этого сделать, поэтому номер его дома 13, а возможные возраста сыновей – 1, 6 и 6 лет или 2, 2 и 9 лет. Только во втором случае среди сыновей есть старший, поэтому им 2, 2 и 9 лет.

Комментарий. Подумайте, изменятся ли решение и ответ от такой перестановки реплик:

А: «Произведение их возрастов равно 36».

Б: «Я все равно не знаю, сколько лет каждому».

А: «Сумма их возрастов равна номеру твоего дома. Мой старший сын рыжий».

Задача 9.3. За столом сидело несколько жителей острова рыцарей и лжецов. Путешественник спросил каждого про его ближайших соседей. Каждый ответил: «У меня оба соседа – лжецы». Путешественник сказал: «Если бы вас было на одного больше или на одного меньше, я бы смог узнать, сколько среди вас рыцарей. А так не могу». Сколько человек было за столом?

Обсуждение. Обычно в задачах про рыцарей и лжецов известно количество участников и требуется только определить, кто есть кто. Попробуем и на этот раз для начала разобраться, как могли сидеть рыцари и лжецы, для небольшого количества сидящих. Ясно, что за столом сидело не менее трех человек. Как могли сидеть трое? А четверо? Пятеро? Шестеро? Семеро? Рано или поздно становится понятно, почему при достаточно большом количестве сидящих количество рыцарей может быть различным.

Ответ. 6.

Решение. Рыцари могут сидеть за столом только по одному между двумя лжецами, а лжецы – либо по одному, либо по двое. Поэтому трое, четверо и пятеро сидящих могут расположиться единственным образом (см. рис. 18).

Рис. 18

Шестеро сидящих могут расположиться двумя способами (см. рис. 19), семеро – единственным (см. рис. 20).

Рис. 19

Рис. 20

Восемь и более сидящих можно расположить не менее чем двумя способами с различным числом рыцарей: группу из 7 человек РЛРЛРЛР можно заменить на РЛЛРЛЛР, а остальные сидящие с лжецами по краям легко подбираются при любом их числе: Л, ЛЛ, ЛРЛ, ЛЛРЛ, ЛЛРЛЛ и т. д.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 9.4. Два мудреца написали на семи карточках числа от 5 до 11. После этого они перемешали карточки, первый мудрец взял себе три карточки, второй взял две, а две оставшиеся карточки они не глядя спрятали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: «Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках четна!» Какие числа написаны на карточках первого мудреца?

Задача 9.5. Один из двух братьев-близнецов по имени Джон совершил преступление. Известно, что по крайней мере один из близнецов всегда лжет. Судья спросил у братьев по очереди: «Вы – Джон?» Первый ответил: «Да». Второй тоже что-то ответил. После этого судья смог определить, кто из них на самом деле Джон. Определите это и вы.

Задача 9.6. На острове живут два племени: рыцарей и лжецов. Путешественник встретил двух островитян и спросил одного из них: «Вы оба рыцари?» Тот ответил «да» или «нет». Путешественник не смог определить, кто перед ним, и спросил у того же человека: «Вы из одного племени?» Тот ответил «да» или «нет», и теперь путешественник понял, из какого племени каждый из островитян. Кого он встретил?

Задача 9.7. Путешественник посетил деревню, каждый житель которой либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Все жители деревни встали в круг лицом к центру, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли тот. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.

Задача 9.8. Путешественник на острове рыцарей и лжецов пришел в гости к своему знакомому рыцарю и увидел его за круглым столом с пятью гостями.

– Интересно, а сколько среди вас рыцарей? – спросил он.

– А ты задай каждому какой-нибудь вопрос и узнай сам, – посоветовал один из гостей.

– Хорошо. Пусть каждый ответит на вопрос: кто твои соседи? – спросил путешественник.

На этот вопрос все ответили одинаково.

– Данных недостаточно! – сказал путешественник.

– Но сегодня день моего рождения, не забывай об этом, – сказал один из гостей.

– Да, сегодня день его рождения! – сказал его сосед. И путешественник смог узнать, сколько за столом рыцарей.

Сколько же их?

Задача 9.9. Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нем оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?

Перейти на страницу:

Все книги серии Школьные математические кружки

Логика для всех. От пиратов до мудрецов
Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Четырнадцатая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена логическим задачам и является продолжением ранее вышедшей книжки И. В. Раскиной и Д. Э. Шноля «Логические задачи» (выпуск 11).В книжку вошли разработки десяти занятий математического кружка с примерами задач различного уровня сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. Приведен также большой список дополнительных задач. Ко всем задачам приведены ответы и подробные решения или указания к решениям.Особенностью книжки является наличие игровых сценариев к отдельным задачам и целому занятию, реализация которых поможет лучшему освоению материала.Для удобства использования заключительная часть книжки сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям логики.

Инесса Владимировна Раскина

Математика

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное