Логика для всех. От пиратов до мудрецов

5) Поставим в соответствие каждому шестикласснику количество его друзей противоположного пола. Сумма этих чисел у всех девочек такая же, как и у всех мальчиков, и равна количеству дружб между мальчиком и девочкой. Так как все слагаемые для девочек больше, чем для мальчиков, у мальчиков должно быть больше слагаемых. Поэтому А ⇒ Б. Обратное неверно, для доказательства достаточно любого контрпримера. Например, в классе одна девочка и два мальчика, и никто из них ни с кем не дружит.

Задача 8.4. Чтобы доказать равносильность двух утверждений А и Б, необходимо доказать две теоремы: А ⇒ Б и Б ⇒ А. А какое наименьшее число теорем надо доказать, чтобы убедиться в равносильности: а) трех утверждений;

б) десяти утверждений?

Ответ, а) Три; б) десять.

Решение. Чтобы доказать, что из любого утверждения следует любое другое, достаточно получить их друг из друга по кругу (для трех утверждений А ⇒ Б ⇒ В ⇒ А, для десяти аналогично), при этом число теорем равно числу утверждений.

С другой стороны, теорем не может получиться меньше, чем утверждений. Действительно, для каждого утверждения должна быть теорема, где оно стоит справа от знака «⇒», иначе оно ни из чего не следует.

Доказательство по кругу не всегда оказывается самым удобным. Иногда доказывают не минимальное количество теорем, а больше, зато каждая из них достаточно проста. Убедимся в этом, решив следующую задачу.

Задача 8.5*. В лифте многоэтажного дома работают только две кнопки: одна поднимает лифт на х этажей, вторая опускает на у этажей (если это возможно при данном положении лифта), где натуральные числа х и у меньше количества этажей в доме. Рассмотрим три утверждения:

(1) С любого этажа можно попасть на любой другой.

(2) С любого этажа, кроме последнего, можно подняться на следующий.

(3) С любого этажа, кроме первого, можно спуститься на предыдущий.

1) Покажите, что в зависимости от значений х и у каждое утверждение может быть как верным, так и неверным.

2) Между какими из этих утверждений можно поставить знак следствия и получить верное высказывание? Есть ли среди данных трех утверждений равносильные?

Решение. 1) При х = у = 1 все утверждения верны, при х = у = 2 неверны, так как нельзя поменять четность этажа.

2) Очевидно, что (1) ⇒ (2), (1) ⇒ (3). Кроме того, из одновременной истинности (2) и (3) следует (1). Докажем, что (2) ⇒ (3). Пусть лифт находится на n-м этаже. Если n – у > 0, то сначала опустимся на у этажей, а потом у — 1 раз поднимемся на 1 этаж и окажемся на (n — 1) – м этаже. Если n – у ≤ 0, то n < у + 1, поэтому можно, прибавляя по этажу, постепенно подняться до (у + 1) – го этажа, затем спуститься на у этажей до первого, а потом постепенно подняться на (n — 1) – й этаж. Аналогично доказывается и (3) ⇒ (2), что завершает доказательство равносильности всех трех утверждений.

Ответ. Все утверждения равносильны.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 8.6. Иа-Иа считает, что у Винни-Пуха хорошее настроение бывает тогда и только тогда, когда Винни-Пух хорошенько подкрепился. Съев всё, что было у Кролика,

Винни-Пух застрял в норе, и его настроение сразу испортилось. Прав ли Иа-Иа?

Задача 8.7. Будем считать, что трава зеленая, а небо голубое. Определите, какие из данных высказываний истинны, а какие ложны:

1) Если трава зеленая, то небо голубое.

2) Если трава зеленая, то небо оранжевое.

3) Если трава оранжевая, то небо зеленое.

4) Если трава оранжевая, то небо голубое.

5) Трава зеленая тогда и только тогда, когда небо голубое.

6) Трава зеленая тогда и только тогда, когда небо оранжевое.

7) Трава оранжевая тогда и только тогда, когда небо зеленое.

8) Трава оранжевая тогда и только тогда, когда небо голубое.

Задача 8.8. В лесу живут только ляпусики и мордасики. Равносильны ли для обитателей леса три утверждения:

(1) все ляпусики кузявые;

(2) если кто-то некузяв, то он мордасик;

(3) никто, кроме мордасиков, не может быть некузявым?

Задача 8.9. Объект охраняют пятеро часовых: А, Б, В, Г и Д. При этом справедливы следующие утверждения:

1) Если А спит, то и Б спит.

2) Хотя бы один из Г и Д спит.

3) Ровно один из Б и В спит.

4) В спит тогда и только тогда, когда спит Г.

5) Если Д спит, то А и Г тоже спят.

Перечислите всех спящих часовых.

Задача 8.10! Трех братьев пригласили на день рождения. Всего ожидалось 17 человек. «Вот бы мальчиков было больше, чем девочек», – захотел первый. «Вот бы при любой рассадке по кругу нашлось два мальчика рядом», – захотел второй. «Вот бы при любой рассадке по кругу нашелся гость, сидящий между двумя мальчиками», – захотел третий. Докажите, что все трое хотят одного и того же.

Указание. Докажите равносильность трех утверждений по кругу: 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1.