Логика для всех. От пиратов до мудрецов

При решении задачи 10.6 можно разделить детей на группы по четыре человека (один будет надевать колпаки на трех других, потом перемена ролей) и предложить им самим выбрать количество колпаков и разобраться, сможет ли третий мудрец определить цвет своего колпака, а через некоторое время разыграть перед всеми участниками наиболее удачные сюжеты.

Задачу 10.7 легче понять, если вновь посадить тех же самых трех мудрецов «на сцене», а четвертого назначить из сидящих «в зале». Тогда он сможет рассуждать, опираясь на только что разобранную задачу о трех мудрецах. Затем попросить его перейти «на сцену» и назначить «в зале» пятого «мудреца».

Для разбора задачи 10.8 можно снова использовать ролевую игру. «На сцене» устанавливается стул, на него садится один ученик – «мудрец». Учитель – «проводник» сообщает ему, что в купе есть испачкавшиеся. Потом объявляет станцию. Ясно, что мудрец должен пойти умываться. Затем ставится второй стул для второго «мудреца», и ситуация разыгрывается заново и т. д.

Задачи 10.7 и 10.8 полезны и как подготовка к изучению в дальнейшем метода математической индукции. Стоит обратить внимание кружковцев на то, как полезно заменить утверждение для большого числа (или общее утверждение) цепочкой задач, следующих одна из другой, начиная с самой простой. А если кружок сильный, обратить также внимание на то, что слова «и так далее…» звучат недостаточно строго, а при изучении индукции вернуться к этим задачам.

Задачу 10.11 можно предложить в качестве домашнего задания, при этом приведенное в книге или подобное ему решение лучше разобрать заранее для полного понимания условия. А можно, наоборот, не решать сравнительно сложные задачи 10.6—10.10 и перейти к задаче 10.11 сразу после разбора задачи о трех мудрецах.

При желании можно разыгрывать в лицах и другие задачи о мудрецах, имеющиеся в следующей главе и в разделе дополнительных задач.

Задача о двух мудрецах

Задача 10.1. Двум мудрецам принесли один белый и два черных колпака. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по колпаку, а третий спрятали. После этого мудрецам развязали глаза, и каждый смог увидеть, какой колпак на голове у другого. Затем у первого мудреца спросили, какой колпак на голове у него самого, и он ответил правильно. Какие колпаки надели на головы мудрецам?

Обсуждение. Предлагается выбрать среди детей двух мудрецов и разыграть по очереди три ситуации:

1) Первому мудрецу надели черный колпак, а второму – белый.

2) Первому мудрецу надели белый колпак, а второму – черный.

3) Обоим мудрецам надели черные колпаки.

В первом случае «мудрец» должен объяснить всем, как он смог определить цвет своего колпака. Два других случая неотличимы с точки зрения первого мудреца (если первый «мудрец» ошибся, ему надо «отрубить голову», а если случайно угадал ответ, учитель может на глазах у зрителей подменить его колпак и сказать: «Могло быть и так, и тогда тебе отрубили бы голову»). В итоге дети должны сделать вывод: определить цвет своего колпака первый мудрец сможет, если видит на втором белый колпак, и не сможет, если видит черный.

Ответ. На первом мудреце черный колпак, а на втором – белый.

Задача 10.2. Двум мудрецам принесли один белый и два черных колпака. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по черному колпаку, а белый спрятали. Когда им развязали глаза, у первого мудреца спросили, какой колпак на голове у него самого. Что он ответил? Когда после этого тот же вопрос задали второму мудрецу, он ответил правильно. Как он догадался?

Обсуждение. Имеет смысл разыграть эту задачу как продолжение третьей ситуации предыдущей задачи, с теми же «актерами». Тогда всем понятно, что первый мудрец ответит «Не знаю». Если второй «мудрец» сам не догадается, какой на нем колпак, стоит напомнить ему про первые две ситуации: «Помнишь, когда на тебе был белый колпак, он мог ответить? А когда черный?»

Комментарий. Казалось бы, информация у двух мудрецов одна и та же, но отвечают они по-разному. Значит, второй знает что-то такое, чего не знал первый. Подумаем, что именно. Он слышал ответ первого и из этого ответа заключил, что первый не может определить цвет своего колпака.

Задача 10.3. Изменится ли решение предыдущей задачи, если вначале принесли: а) один белый и три черных колпака; б) два белых и два черных колпака?

Решение, а) Нет, не изменится. Количество белых колпаков то же, а черных неважно сколько именно, а важно только, что на всех хватает, б) На этот раз ни один из мудрецов не сможет определить цвет своего колпака. Первый – очевидно, а про второго можно понять, разыграв такие ситуации:

1) Обоим надели черные колпаки. Убеждаемся, что первый скажет «Не знаю».

2) Первому надели черный колпак, а второму белый. Убеждаемся, что первый скажет «Не знаю».

Итак, первый в любом случае говорит «Не знаю», и второй по этим словам не может делать никакого вывода.

Задача о трех мудрецах