Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Задача 10.4. Трем мудрецам принесли два белых и три черных колпака. Затем им завязали глаза и надели каждому на голову по черному колпаку, а белые спрятали. Когда им развязали глаза, у первого мудреца спросили, знает ли он, какой колпак на голове у него самого.

а) Что он ответил?

б) Тот же вопрос задали второму мудрецу. Что ответил второй?

в) Наконец, спросили третьего мудреца, и он правильно назвал цвет своего колпака. Как он рассуждал?

Обсуждение. Для начала можно разыграть с новыми «артистами» четыре ситуации, задавая вопрос только первому мудрецу:

1) Мудрецам надели два белых колпака и один черный. Спрашивают у того, на котором черный.

2) Мудрецам надели два белых колпака и один черный. Спрашивают у того, на котором белый.

3) Мудрецам надели два черных колпака и один белый. Спрашивают у того, на котором белый.

4) Мудрецам надели два черных колпака и один белый. Спрашивают у того, на котором черный.

Убеждаемся, что первый мудрец может определить цвет своего колпака только в том случае, если видит перед собой два белых колпака. Теперь продолжим с теми же «артистами» последнюю ситуацию и зададим вопрос второму мудрецу с черным колпаком. Если он затрудняется ответить, напомним ему первую ситуацию: «Когда на тебе был белый колпак, он мог определить цвет своего колпака? Почему же сейчас не смог?»

И лишь теперь воспроизведем в ролях условие задачи полностью. Если первый мудрец попытается угадывать цвет своего колпака, ему можно напомнить третью ситуацию и «отрубить голову».

Второму трудно понять, есть ли у него шанс догадаться. Помочь можно вопросами: если на тебе белый колпак, то что первый видит? Может ли он тогда догадаться? (Нет, во второй и четвертой ситуациях первый мудрец видел колпаки разного цвета и догадаться не мог.) А если на тебе черный, то что первый видит? Может ли он тогда догадаться? (Нет, в третьей ситуации первый мудрец видел два черных колпака и догадаться не мог.) Задавая вопросы, желательно не подсказывать третьему «мудрецу» цвет его колпака.

Роль третьего «мудреца» сложная, ему можно помочь, напомнив четвертую ситуацию с продолжением: «Помнишь, когда на тебе был белый колпак, а ни них черные? Тогда первый мудрец не смог, зато второй смог определить цвет своего колпака! Почему же сейчас не смог?»

Задача 10.5! Парадокс трех мудрецов. В задаче о трех мудрецах первый смог бы определить цвет своего колпака лишь в одном случае: если бы видел перед собой двух мудрецов в белых колпаках. Но и второй, и третий мудрецы знают, что это не так: они же видят черные колпаки друг на друге. Поэтому ответ «Не знаю», произнесенный первым мудрецом, для каждого из них очевиден и не содержит никакой информации.

С другой стороны, если первому мудрецу не задавать вопроса, то второй окажется в положении первого, а третий – в положении второго, и не сможет ответить на вопрос. Но третий ответил, значит, информация в ответе первого все же была! Какая же?

Обсуждение. Вопрос очень сложный. Чтобы разобраться в нем, попробуем еще раз разыграть полностью задачу о трех мудрецах, но во время ответа первого второй закроет уши. После этого второй, конечно, не сможет определить цвет своего колпака (он и с открытыми-то ушами не мог!). А третий должен подумать так: если на мне белый колпак, то второй видит два колпака разного цвета и, не услышав ответа первого, определить цвет своего не может. А если на мне черный, то тем более не может (он и с открытыми ушами не мог в прошлый раз). Так что от ответа второго никакого толку, и определить цвет своего колпака я не могу.

Ответ. Ответ первого нужен для того, чтобы третий знал, что второй знает, что первый не может определить цвет своего колпака. Другими словами, информация от первого второму не помогает, но тот факт, что она ему не помогает, важен для третьего.

Комментарий. С сильным кружком в затыкание ушей можно поиграть подольше. Что будет, если во время ответа первого мудреца заткнуть уши не второму, а третьему? Тогда третий будет знать, что второй слышал ответ первого и все равно не может определить цвет своего колпака. Какой именно ответ второй слышал, третий и так знает, для этого не нужны уши, достаточно глаз и мозгов. Так что в этом случае третий сможет определить цвет своего колпака. А что будет, если заткнуть уши третьему во время ответа второго? На этот раз он определить цвет своего колпака не сможет, так как окажется в роли второго мудреца из основного варианта задачи.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 10.6. Как можно изменить количество колпаков в задаче о трех мудрецах, чтобы решение всех пунктов в точности сохранилось?

Задача 10.7*. Придумайте задачу, аналогичную задаче о трех мудрецах, для большего количества мудрецов. Решите задачу для четырех и для пяти мудрецов.