Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

^-d4xB(B)

.

(45.10)

Здесь можно опустить функцию (-'), которая отражает лишь тот факт, что физические миры, соответствующие различным значениям параметра , не связаны друг с другом. Кроме того, интегрирование по полям B в формуле (45.10) можно распространить на все полевые конфигурации, введя множитель

-(g^2/32^2)

d

⁴

x

GG

;

но тогда суммирование по индексу выполняется тривиально, и мы получаем

Z=N

(d

B

)e

^-d4xL

(45.11а)

L

=-

1

4

GG

+

ig^2

32^2

GG

.

(45.11б)

Наконец, можно вернуться в пространство Минковского и сделать заключение, что из существования инстантонов следует, что истинный лагранжиан квантовой хромодинамики имеет вид

L

=-

1

4

 

^a

G

^a

G

_a

-

g^2

32^2

 

^a

G

^a

G

_a

,

(45.12)

подтверждая, таким образом, необходимость введения в общем случае члена L₁ (вспомним рассмотрение в начале § 38).

Можно задаться вопросом, в какой мере явления, рассмотренные в настоящем параграфе, изменяют результаты, полученные в параграфах книги, предшествующих § 37. Во-первых, ограничения, полученные для параметра (§ 38), требуют, чтобы его значение было настолько малым, что член лагранжиана L₁ сам по себе практически не оказывает влияния. Во-вторых, инстантонное решение и связанные с ним явления представляют собой дальнодействующие эффекты; полевые конфигурации, достаточно быстро убывающие при x->, обладают нулевым топологическим зарядом Q_K=0. До сих пор мы обсуждали лишь эффекты, связанные с малыми расстояниями (для распада ⁰->2, глубоконеупругого рассеяния и т.д.); возможно, что режим теории возмущений по-прежнему применим и здесь. В этом можно убедиться, рассмотрев амплитуду туннелирования, обусловленного одноинстантонной полевой конфигурацией:

0|±1(constant)exp

-

2

_g

.

После проведения процедуры перенормировок константу связи _g следует заменить бегущей константой связи, так что с точностью до логарифмических поправок выражение для амплитуды перехода принимает вид

0|±1

^2

Q^2

^(33-2n_f)/3

.

(45.13)

Эта формула показывает, что при больших передаваемых импульсах Q^2 туннельные эффекты пренебрежимо малы, и состояние |0 можно рассматривать как состояние истинного вакуума; при этом ошибка, вносимая выражением (45.13), оказывается много меньше, чем, например, эффекты от операторов твиста 4 или 6. В самом деле, оценки [31] показывают, что инстантонные поправки к процессам е⁺е^—-аннигиляции или глубоконеупругого рассеяния полностью пренебрежимы при Q^2>=1 ГэВ². Таким образом, в случаях, когда инстантонные эффекты важны, вычисления в рамках теории возмущений неприменимы, а в случаях, когда можно использовать теорию возмущений, эффекты, обусловленные существованием инстантонов, оказываются ненаблюдаемыми. С этой точки зрения инстантоны похожи на мифическое животное — василиска, увидев которого, как гласит предание, человек умирает.

§ 46. Вопросы, не рассмотренные в книге

1. КХД на решетке

В принципе формализм интегралов по траекториям, по-видимому, осуществляет мечту теоретиков: сводит квантовую теорию поля к квадратурам. Кажется, что достаточно перейти от непрерывного пространства-времени к дискретной решетке с некоторым расстоянием между соседними узлами и размером N и проинтегрировать определенный на этой решетке производящий функционал. На практике ситуация сложнее. Явно можно выполнить только гауссово интегрирование или интегрирование по фермионным полям, поэтому приходится обращаться к численным методам. Возможно, это и объясняет, почему после работы Вильсона [269], опубликованной в 1975 г., и до последнего времени почти не было получено новых результатов.

Однако за последние два года ситуация резко изменилась. Не только получено подтверждение существования явления конфайнмента, но в результате прогресса, обусловленного введением на решетку фермионов, были вычислены с хорошей точностью (~30 %) различные фундаментальные величины (включая вакуумные средние G^2, qq и, в частности, значения m, m_p, f). К сожалению, мы не можем подробно обсудить это направление в теории поля и, таким образом, опустим все волнующие результаты, достигнутые на этом пути. Заинтересованному читателю следует обратиться к работам [79, 164, 188, 197], где имеются ссылки на дальнейшую литературу.

2. 1/N-разложение