Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В настоящей книге мы рассматривали квантовую хромодинамику только при нулевой температуре, т.е. мы не требовали, чтобы большое число кварков и глюонов было заключено внутри малого объема с высокой плотностью энергии. Кроме самостоятельного интереса, который представляет изучение КХД при конечной температуре, в космологии существуют ситуации (типа очень тяжелых звезд или Большого взрыва), где такое требование может оказаться необходимым. Более того, похожие ситуации, по-видимому, могут быть получены лабораторным путем в процессах столкновений тяжелых ионов. Заинтересованного читателя мы отсылаем к обзору [159].

8. Потенциальные модели

Важным вопросом, совершенно не затронутым в книге, является рассмотрение стимулированных квантовой хромодинамикой конституентных моделей адронов, хотя своих первых успехов кварковая модель добилась именно в этом направлении. Есть две причины, побудившие меня не включать в книгу такие модели. Во-первых, хотя КХД необходима для выяснения некоторых особенностей этих моделей, тем не менее при современном уровне развития теории трудно обосновать с какой-либо степенью строгости делаемые при этом допущения. Во-вторых, недавно вышла книга [123], посвященная именно этому кругу вопросов.

9. Поправки КХД к эпектрослабым процессам

Помимо того, что можно назвать "чистой" адронной физикой, КХД позволяет оценить поправки к электрослабым процессам, обусловленные сильными взаимодействиями. В известном смысле так же можно интерпретировать поправки КХД к чисто партонной картине е⁺е^--аннигиляции или глубоконеупругому рассеянию. Но теперь мы имеем в виду поправки к процессам типа нелептонных или полулеотонных распадов тяжелых кварков, включая (частичное) объяснение правила отбора I=1/2, чистого механизма ГИМ или распада протона. Заинтересованный этим кругом вопросов читетель найдет дальнейшие сведения и соответствующие ссылки на литературу в обзорах [11,132].

Приложение А. Алгебра -матриц в D-мерном пространстве

Матрицы выбираются в виде квадратных матриц размерности 4. В D-мерном пространстве мы имеем набор -матриц

⁰

,

¹

,…,

^D-1

и матрицу ₅^55б). Они удовлетворяют антикоммутационным соотношениям

^55б) Дополнительные сведения о матрице ₅ можно найти в § 7 и 33.

{

,

}=2g

,

₂

⁵

=1,

где

g

=0, /=, g

⁰⁰

=0, g

ⁱⁱ

=-1 for i=1,…,D-1.

=g

.

S

=g

g

+

g

_g

-g

g

, A

=g

A

,

A

=

A

.

Имеют место следующие полезные соотношения:

Tr

=4g

,

Tr

₅

=0,

Tr

_(odd)

…

 

=0,

Tr

₅

_(odd)

…

 

=0,

Tr

=4

=4{g

g

+g

g

-g

g

};

a

a

=a^2;

aba

=-a^2

b

+2(a·b)

a

,

=D,

=(2-D)

;

=-D

₅

;

=4g

+(D-4)

,

=-2

+(4-D)

,

где S = gg + gg - gg, A=gA, A=A. Для случая четырехмерного пространства D=4 матрица ₅ определяется в виде ₅=i⁰¹²³. Введя полностью антисимметричный тензор так, что

⁰¹²³

=-1,

₀₁₂₃

=+1,

а остальные компоненты получаются циклической перестановкой индексов, можно записать следующие соотношения:

=S

-i

₅

;

₅

+

₅

g

+

1

2i

.

Tr

₅

=i

^;

g

=-g

(g

g

-g

g

)

-g

(g

g

-g

g

)

+g

(g

g

-g

g

g

);

=2(g

g

-g

g

).

Кроме того, справедливо равенство {,₅}=0. В представлении Паули или Вейля для -матриц справедливы соотношения ₂₂=-^* и ₀⁺₀=, ₀(i₅)⁰=i₅. Наконец, если w₁ и w₂ - спиноры, а ₁,…,_n - любые матрицы из набора , i₅ , то выполняется равенство

(

w

₁

₁

…

_n

w

₂

)

^*

=

w

₂

_n

…

₁

w

₁

.

Приложение Б. НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В пространстве размерности D справедливы формулы

d^Dk

(2)^D

·

(k^2)^r

(k^2-R^2)^m

=i

(-1)^r-m

(16^2)^D/4

·

(r+D/2)(m-r-D/2)

(D/2)(m)(R^2)^m-r-D/2

;

d

^D

k

1

k^2+i0

=0;

d

^D

k

(1-|

k

|)=

2^D/2

(D/2)

.

При интегрировании симметричных по индексам выражений следует воспользоваться равенствами

d

^D

k k

k

f(k^2)=

g

D

d

^D

k k^2f(k^2);

d

⁴

k k

k

k

k

f(k^2)=

gg+gg+gg

D²+2D

d

^D

k k

⁴

f(k^2);

d

⁴

k k

^₁

…k

^_2n+1

f(k^2)0.

В пределе ->0 справедливы разложения

(1+)=1-

_E

+

ⁿ⁼²

(-)ⁿ

n!

(n), (R^2)

^/2

=1+

2

log R^2+O(^2);

здесь — функции Эйлера, — функция Римана, а константа Эйлера _E=0,5772. Формулы фейнмановской параметризации имеют вид

1

AB

=

(+)

¹

 

₀

dx

x^-1(1-x)^-1

{xA+(1-x)B}⁺

,

1

ABC

=

(++)

¹

 

₀

dx·

¹

 

₀

dy

u

_-1

¹

u

_-1

²

u

_-1

³

{u

₁

A+u

₂

B+u

₃

C}

₊₊

 

,

u

₁

=xy, u

₂

=x(1-y), u

₃

=1-x.

1

ABCD

=

(+++

¹

 

₀

dx·^2

¹

 

₀

dy·y

x

¹

 

₀

dz

u

_-1

¹ u

_-1

² u

_-1

³ u

_-1

⁴

u

₁

A+u

₂

B+u

₃

C+u

₄

D

₊₊₊

 

,

u

₁

=1-x, u

₂

=xyz, u

₃

=x(1-y), u

₄

=xy(1-z) и т.д.

В общем случае справедлива формула

1

A₁…A_n

=(n-1)!

¹

 

₀

dx

₁

…

¹

 

₀

dx

_n

_n

¹

x

_i

-1

1

(x₁A₁+…+x_nA_n)ⁿ

.

Более подробную сводку формул можно найти в обзоре [209].

Приведем значения некоторых определенных интегралов

¹

 

₀

dx log(1+x)=2log2-1

¹

 

₀

dx

log(1+x)

2

=

^2

12

.

Многие часто встречающиеся в приложениях интегралы можно вычислить, используя формулу Эйлера

¹

 

₀

dx x

(1-x)

=

(1+)(1+)

(2++)

.

Например, дифференцированием получаем отсюда следующие результаты:

¹

 

₀

dx x

log x=

1

(+1)^2

;

¹

 

₀

dx x

(1-x)

log x=[S

₁

(a)-S

₁

(1++)]

(1+)(1+)

(2++)

,

¹

 

₀

dx

x-1

1-x

=-S

₁

,

¹

 

₀

dx x

log x log(1-x)=

s₁(1+)

(1+)²

+

S₂(1+)

1+

-

^2

6

·

1

1+

;

¹

 

₀

dx x

log^2x

1-x

=2(3)-2s

₃

,

¹

 

₀

dx

x

1-x

log x log(1-x)=

^2

6

S

₁

-S

₁

S

₂

-S

₃

+(3),

¹

 

₀

dx x

(1-x)

log x log(1-x)

=

(1+)(1+)

(2++)

S

₂

(1++)-

^2

6

+[S

₁

-S

₁

(++1)]

x

[S

₁

-S

₁

(++1)]

,

¹

 

₀

dx x

(1-x)

log^2x

=

(1+)(1+)

(2++)

{[S

₁

-S

₁

(++1)]^2+S

₂

(++1)-S

₂

}

и т.д.