Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Здесь использованы обозначения

S

_l

=(l)-

^k=1

[1/(k+)

^l

], l1; S

_l

=

^j=1

(1/j

^l

),

где - положительное целое число, а l может принимать любые значения. Заметим, что S₂=^2/6, S_l=(l), где — функция Римана. В случае l=1 приведенное выше выражение для функции можно представить в виде ряда

S

₁

=

^k=1

[1/(k+)k]=

^j=1

(1/j),

где - целое положительное число. Функция S₁ представима в виде S₁=(+1)+_E, где (z)=dlog((z))/dz. Сведения о специальных функциях , , см. в книге [5].

Приложение В. Теоретико-групповые соотношения

Для группы SU(3) генераторы t определяются по формуле t=/2, где матрицы имеют вид

^j

=

^j

0

0

0

, j=1,2,3;

⁴

=

0

0

1

0

0

0

1

0

0

;

⁵

=

0

0

-i

0

0

0

i

0

0

;

⁶

=

0

0

0

0

0

1

0

1

0

;

⁷

=

0

0

0

0

0

-i

0

i

0

;

⁸

=

1

3

1

0

1

0

-2

;

¹

=

0

1

1

0

,

²

=

0

-i

i

0

,

³

=

1

0

0

-1

.

Можно ввести матрицы C^a, матричными элементами которых являются структурные константы группы C^a_bc=-if_abc=-if^abc. Коммутационные соотношения для матриц C^a и t^a имеют вид

[t

^a

,t

^b

]=i

f

^abc

t

^c

, [C

^a

,C

^b

]=i

f

^abc

C

^c

,

а антикоммутатор генераторов t^a и t^b имеет вид

{t

^a

,t

^b

}=

d

^abc

t

^c

+

1

3

^ab

.

Структурные константы группы f полностью антисимметричны по всем индексам, а структурные константы d_abcd^abc полностью симметричны по всем индексам. Ниже приводятся все отличные от нуля значения структурных констант f и d:

1=f

₁₂₃

=2f

₁₄₇

=2f

₂₄₆

=2f

₂₅₇

=2f

₃₄₅

-2f

₁₅₆

=-2f

₁₅₆

=-2f

₃₆₇

=

2

3

f

₄₅₈

=

2

3

f

₆₇₈

;

1

3

=d

₁₁₈

=d

₂₂₈

=d

₃₃₈

=-d

₈₈₈

,

-1

23

=d

₄₄₈

=d

₅₅₈

=d

₆₆₈

=d

₇₇₈

,

1

2

=d

₁₄₆

=d

₁₅₇

=d

₂₄₇

=d

₂₅₆

=d

₃₄₄

=d

₃₅₅

=-d

₃₆₆

=-d

₃₇₇

.

Для произвольной группы SU(N) инварианты C_A, C_F и T_F определяются формулами

_ab

C

_A

=

Tr C

^a

C

^b

=

 

^cc'

f

^acc'

f

^bcc'

,

_ik

C

_F

=

 

^a

t

^a

t

^a

_ik

=

 

^a,l

t

_a

^il

t

_a

^lk

,

_ab

T

_F

=

Tr t

^a

t

^b

=

 

^k,i

t

_a

^ik

t

_b

^ki

.

При этом

C

_A

=N, C

_F

=

N^2-1

2N

, T

_F

=

1

2

.

В приложениях часто встречаются соотношение

Tr t

^a

t

^b

t

^c

=

i

4

f

^abc

+

i

4

d

^abc

,

а также инварианты

 

^abc

d

₂

^abc

=

40

3

,

 

^abc

f

₂

^abc

=24 ,

 

^rka

_irk

t

_a

^jr

t

_a

^kl

=-

2

3

_ijl

.

Приложение Г. Фейнмановские правила диаграммной техники для КХД

Имеются следующие фейнмановские правила:

ig

t

_a

^kj

-gf

^abc

[(p-q)

g

+(q-k)

+(k-p)

g

]

-igf^2

 

^e

{f

^abe

f

^cde

(g

g

-g

g

)

+

f

^ace

f

^bde

(g

g

-g

g

)

+

f

^ade

f

^cbe

(g

g

-g

g

)}

-gf

^acb

p

i

p-m_j+i0

_jk

i

-g+kk/(k^2+i0)

k²+i0

_ab

(лоренцева калибровка)

i

-g+(nk+nk)/n·k-n^2(kk/n·k)

k²+i0

_ab

(аксиальная калибровка)

i

k^2+i0

_ab

.

При вычислении диаграмм следует добавлять общий множитель (2)⁴(P_i-P_f), описывающий сохранение полного 4-импульса, и коэффициент (— 1) на каждую замкнутую фермионную петлю или петлю духов. Статистические множители таковы:

1

2!

 для

1

3!

 для

Каждое интегрирование по петле содержит комбинацию

_4-D

⁰

d

^D

k/(2)

^D

d

^d

k .

Диаграммы с несвязанными графиками не рассматриваются. Читать диаграммы следует против направлений стрелок на ориентированных линиях. Для получения матричных элементов S-матрицы нужно добавить линии, отвечающие начальным и конечным частицам:

(2)

^-3/2

u(p,)

(2)

^-3/2

v

(p,)

(2)

^-3/2

(k,)

(2)

^-3/2

(k,)

^*

(2)

^-3/2

u

(p,)

(2)

^-3/2

v(p,)

(2)

^-3/2

(k,)

^*

(2)

^-3/2

(k,)

Спиноры и векторы поляризации предполагаются нормированными следующим образом:

 

u(p,)

u

=

p

+m ,

 

(k,)

^*

(k,)=-g

(фейнмановская калибровка).

Эта сводка правил диаграммной техники отличается от правил, приведенных в книге [40], нормировкой спиноров

 

u

_BD

u

_BD

=

p+m

2m

,

а также множителями (2)^-3/2 вследствие разного определения амплитуд T и T_BD

Приложение Д. Фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов

Введем обозначения: ₊=1, _-=₅ и — произвольный 4-вектор, удовлетворяющий условию =0. Тогда фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов имеют вид

N=q(0)^₁…_ⁿ±q(0)

(·k)^k-1_±

N=G^₁₂…G

g(·k)ⁿk^2(·k)^n-2

-(k+k)(·k)^n-1

N=g

q

_j

(0)

^₁

…B

^a

t

_a

^jk

…

^_n

_±

q

_k

(0)

gt

_a

^ij

_n-2

^j=0

(·p

₁

)

^j

(

·p

₂

)

^n-j-2

_±

N=gG^₁₂…B^_i…G

ig

3! f_abc

k(·p)+p_p(·k) -g(·p)(·k)-_k(p·k)

+

_n-2

^j=1 (-1)^j(·p)^j-1(·k)^n-j-2 +

(g-g)(·k) +(k-k)

(·k)^n-2

+ перестановки.

См. также работы [125,126].

Приложение Е. Некоторые сингулярные функции

Причинные функции Грина в координатном пространстве задаются формулами

(x;m^2)

=

d⁴k

(2)⁴

e

^-ik·x

i

k^2-m^2+i0

,

D

(x)

=

i

d⁴k

(2)⁴

e

^-ik·x

-g+kk/(k²+i0)

k²+i0

,

S(x;m)

=

d⁴k

(2)⁴

e

^-ik·x

k+m

k^2-m^2+i0

.

Иногда мы опускаем аргумент m из обозначений функций и S. Эти же функции можно выразить через вакуумные средние от хронологических произведений:

T(x)(0)

₀

(x;m);

Tq

^j

(x)

q

k

(0)

₀

=

^jk

S(x,m),

TB

^a

(x)B

^b

(0)

₀

=

_ab

D

(x).

Характер функций Грина ясно представлен уравнениями (^2_x+m^2)i(x-y)=(x-y) и т.д. Кроме того, справедливо соотношение

S(x,m)=(i+m)(x,m)

На световом конусе справедливы разложения

(x,m)^2

 

^{x^2->0}

-1

4^2

·

1

x^2-i0

+

im^2(x^2)

16

+

m^2

8^2

log

m|x^2| ^1/2

2

+…

S(x)

 

^{x^2->0}

2ix

(2)^2(x^2-i0)^2

+…