Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

выделяя член, пропорциональный произведению qq , и вводя фейнмановские параметры, находим

'

NS

L

=

g^2

16^2

C

_F

8

x

¹

 

₀

d

·

¹

 

₀

d

(1-u₂)u₁

[1-u₂-(1-(u₁+u₂)/x]^2

,

где u₁= и u₂=1- . Разлагая в ряд по степеням 1/x и интегрируя, получаем

'

_NS

^L

=

g^2

16^2

4C

_F

ⁿ⁼¹

1

n+1

1

x

ⁿ

Перекрестные диаграммы удваивают значения коэффициентов при четных степенях 1/x и приводят к сокращению членов разложения, содержащих 1/x в нечетной степени. Таким образом, окончательный результат имеет вид

_NS

^L

=

2g^2

16^2

4C

_F

^{n четн}

4

n+1

1

x

ⁿ

(21.7)

Записывая аналог выражения (19.18), находим

B

_n(1)NS

^L

=

4

n+1

C

_F

,

n — четное число

_NS

^L

(n,Q^2)

=

_NS

^L

_s(Q^2)

·

C_F

n+1

_NS

²

(n,Q^2) .

(21.8)

Детальное изложение вычислений других коэффициентов B можно найти в статье [27]. Здесь мы лишь приведем результаты для процесса электророждения на протонной мишени:

C

₍₁₎

^NS

(n)

=

C

₍₁₎

^F

(n)

=

C

_F

2[S

₁

(n)]^2+3S

₁

-2S

₂

(n)-

2S₁(n)

n(n+1)

=

+

3

n

+

4

n+1

+

2

n^2

-9

,

(21.9 а)

C

₍₁₎

^V

=

4

_F

n

_f

-

1

n

+

1

n^2

+

6

n+1

-

6

n+2

-S

₁

(1)

n^2+n+2

n(n+1)(n+2)

.

(21.9 б)

Поскольку мы объяснили общие методы, можно записать в явном виде уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений. Для несинглетного случая имеем

_NS

(n,Q^2)

=

_s(Q

₂

⁰ )

_s(Q

₂

  )

^d(n)

x

1+C

₍₁₎

^NS (n)_s(Q

₂

  )/4

1+C

₍₁₎

^NS (n)_s(Q

₂

⁰ )/4

1+_1s(Q

₂

  )/4₀

1+_1s(Q

₂

⁰ )/4₀

^p(n)

x

_NS

(n,Q

₂

⁰

);

p(n)

=

1/2

₍₁₎

^NS

(n)/

₁

-

₍₀₎

^NS

(n)/

₀

.

(21.10)

Для синглетного случая возникают некоторые дополнительные трудности. Нужно начать с определения матрицы C⁽¹⁾(n), имеющей матричные элементы C⁽¹⁾₁₂(n)=C⁽¹⁾_V(n) , C⁽¹⁾₁₁(n)=C⁽¹⁾_F(n) ,

C

₍₁₎

²¹

(n)=

D₂₁(n)

D₁₂(n)

C

₍₁₎

¹²

(n) ,

C

₍₁₎

²²

(n)=C

₍₁₎

¹¹

(n)+

D₂₂(n)-D₁₁(n)

D₁₂(n)

C

₍₁₎

¹²

(n) .

Если принять такое определение, то матрицы C⁽¹⁾ и D коммутируют. Введем обозначения для _s(Q^2) и ₀ для _s(Q^2₀) . Тогда уравнения для моментов в синглетиом случае принимают вид [149]

(n,Q^2)

=

C

(n,)

C

^-1

(n,

₀

)

M

(n;,

₀

)

(n,Q^2

₀

) ,

(21.11)

где введены обозначения C=1+C⁽¹⁾/4; ,

R

(n,,

₀

)=1-

-₀

4

·

 

¹

2

₂

⁰

⁽⁰⁾

(n)+

(n,

₀

) ,

(n,,

₀

)

=

-3

32

·

₀

4

^r

 

₀

d

r' e

^-3₀r'/16

[

M

⁰

(n,r')]

^-1

⁽¹⁾

(n)

M

⁰

(n,r') ,

M

(n,,

₀

)

=

₀

^D(n)

 

 

R

(n,,

₀

) ,

r

=

16

3₀

log

₀

,

M

(n,r')

=

e

^{-3r'(0)(n)/32}

.

Уравнение для моментов в синглетном случае можно переписать в другом виде, более удобном в некоторых приложениях. Пусть матрица S_n диагонализует матрицу D_n :

S

^-1

(n)

D

(n)

S

(n)

=

D

(n)

d

₊

(n)

0

0

d

_-

(n)

, d

₊

(n) d

_-

(n) .

Ее можно выбрать так, чтобы det S=S₁₁=1 ; тогда матрица S имеет вид

S

(n)=

1

D₁₂(n)

d_-(n)-d₊(n)

d₊(n)-D₁₁(n)

D₁₂(n)

d_-(n)-D₁₁(n)

d_-(n)-d₊(n)

.

(21.12)

Определим величину как результат преобразования матрицы ⁽¹⁾ под действием матрицы S :

S

^-1

(n)

⁽¹⁾

(n)

S

(n)

=

(n) .

(21.13)

Тогда получим

^D(n)

1+

4

(n)

S

^-1

(n)

C

^-1

(n,)

(n,Q^2)

=

_D(n)

⁰

1+

₀

4

(n)

S

^-1

(n)

C

^-1

(n,

₀

)

(n,Q

₂

⁰

)

b(n) (не зависит от Q^2).

20.14

Здесь использовано обозначение^36а)

^36а Уравнения несколько изменяются для двух значений n_± , для которых выполняся соотношение d_-(n_±)-d₊(n_±)+1=0. При этом поправки следующего порядка теории возмущений равны не O(_s), а O(_s log _s).

(n)

=

-1

2₀

₁₁

(n)+2

₁

d

₊

(n)

₁₂(n)

d₊(n)-d_-(n)+1

₂₁(n)

d_-(n)-d₊(n)+1

₂₂

(n)+2

₁

d

_-

(n)

.

Выражвння (21.10) и (21.11) применимы для моментов структурных функций f₂ и f₃ . Используя соотношения (21.8), продольную структурную функцию f_L можно выразить через функцию f₂ :

f

_L

=

f

_NS

^L

+

f

_F

^L

+

f

_V

^L

,

(21.15 а)

f

_NS

^L

(x,Q^2)

=

4_s

3

¹

 

_x

dy

x^2

y^3

f

_NS

²

(y,Q^2) ,

(21.15 б)

f

_F

^L

(x,Q^2)

=

4_s

3

¹

 

_x

dy

x^2

y^3

f

_F

²

(y,Q^2) ,

(21.15 в)

f

_V

^L

(x,Q^2)

=

4_s

3

_L

¹

 

_x

dy

x^2

y^3

1-

x

y

f

_V

²

(y,Q^2) ,

(21.15 г)

где для процесса электророждения на протонной мишени

_L

=

3nf

2

.

(21.16)

§ 22. Метод Алтарелли - Паризи

Метод операторного разложения в применении к анализу процессов глубоконеупругого рассеяния является достаточно простым и вполне строгим. Однако он, по-видимому, не опирается на физическую интуицию. В частности, не совсем ясна его связь с партонной моделью. Это является одной из причин, обусловивших успех метода Алтарелли - Паризи ([12], см. также [98]), в рамках которого такая связь сохраняется на каждом этапе.

Прежде чем обсуждать партонную интерпретацию, проанализируем еще раз полученные уравнения. Для определенности будем рассматривать несинглетную часть структурной функции f₂(x,Q^2) , а именно сосредоточим внимание на вкладе кварка заданного аромата f в выражения для f^NS₂ и функции q_f . В приближении свободных партонов (см. (17.11)) функция распределения q_f не зависит от квадрата 4-импульса Q^2, но при учете взаимодействия она такую зависимость приобретает. Если через ^2 обозначить некоторое фиксированное характерное значение квадрата 4-импульса и переменную t определить формулой t= 1/2 log(Q^2/^2), то выражение (17.11) можно обобщить следующим образом:

f

_NS

²

(x,Q^2)=

_NS

^f

xq

_f

(x,t) ,

(22.1)

где коэффициенты _f известны.

Уравнения квантовой хромодинамики позволяют выяснить изменение моментов в зависимости от переменной t. Запишем выражение (20.6) для функции распределения в дифференциальном виде:

dq_f(n,t)

dt

=

₍₀₎

^NS (n) a_g(t)

 4 

q

_f

(n,t) ,

(22.2)