Читаем Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов полностью

Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(9.5 6)

получим выражения для глюонного перенормировочного множителя Z_B и для комбинации Z_B и Z. Рассмотрим пропагатор духов^13b)

^13bВ дальнейшем везде, где это не вызвать недоразумений, индекс u мы будем опускать.

(p)=

⁴

^-ip·x

T(x)

(0)

₀

(9.6 а)

Выбирая p=p и задавая величину

(p),

(9.6 6)

фиксируем значение перенормировочного множителя духов Z. Рассмотрение любой из вершин qqВ, ВВВ, ВВВB или qВ позволяет фиксировать зарядовый перенормировочный множитель Z_g. Выберем для этой цели первую из них. Если "усеченную" вершину V определить формулой

⁴

^-ip₁·x

^-ip₂·x

(y)B

(0)q

(x)

⁰

_ab

₂

-p

₁

_ki

₂

_il;b,

₁

₂

_lj

₁

^R;''

_il;b,

+…,

^R;''

^il

^''

(9.7 a)

то можно определить вершину V при p²=-², ²0:

₁

₂

=(p

₁

-p

₂

)

(9.7 б)

Как уже отмечалось, выполнение перенормировочной процедуры в значительной мере облегчается тем, что перенормированный лагранжиан L_R можно подучить из "затравочного" лагранжиана L_uD, проводя замену фигурирующих в нем полей по формулам (8.9). Для того чтобы вычислить любую функцию Грина, запишем ее в импульсном представлении и отсечем все внешние линии. При этом получим величину (p₁,…p_N-1;m,g,), определяемую формулой

₁

,…p

_N-1

;m,g,)(p)

₁

)…K

)

⁴

₁

…d

⁴

^ix_k·p_k

₁

)…

)

₀

;

(9.8)

где K_k - обратные пропагаторы; для фермионных полей iK(p)=S^-1_R(p), для глюонных полей iK(p)=D^-1_R(p) и т.д.^13в). Вычислим неперенормированную функцию Грина

^13в Отсечение внешних линий устраняет связанные с ним полюса фейнмановских диаграмм. Так как пропагаторы S_R и D_R перенормированы, функция Грина содержит множитель Z^{- 1/2} для каждой величины K, так что каждой полевой функции возникает эффективный полевой множитель Z^1/2.

_uD(p₁,…p_N-1;m,g,),

используя для этого лагранжиан L_uD,int (выражение (9.2)). Тогда перенормированная функция Грина _R получается из неперенормированной функции Грина _uD:

₁

,…p

_N-1

;m,g,)

_{- 1/2}

…Z

_{- 1/2}

,…,p

m,Z

g,Z

^₁

^_N

^uD

^N-1

(9.9)

Это выражение приобретает более прозрачный смысл, если ввести следующие обозначения для затравочных параметров ¹⁴⁾.

¹⁴ Массы и капибровочный параметр иногда удобно рассматривать как некоторые константы связи.

_uqD

_mq

_uD

;

(9.10)

тогда выражение (9.9) принимает вид

₁

,…p

_N-1

;m,g,)

_{- 1/2}

…Z

_{- 1/2}

,…,p

_uD

^₁

^_N

^uD

^N-1

(9.11)

Для того чтобы проиллюстрировать, как работает описанная процедура, рассмотрим пропагатор кварка. Согласно общему рецепту, с учетом обозначения _gg²/(4) можно записать следующее соотношение между перенормированным и неперенормированным пропагаторами:

(p; g

, m

) = Z

_1/2

(p; Z

g, Z

m, Z

^uD

Все вычисления будут проводиться во втором порядке теории возмущений. Поэтому множители Z_g и Z можно заменить на единицу, так как возникающие при этом поправки будут иметь более высокий порядок малости по константе связи _g. Используя формулы {7.4), (7.5), получаем выражение для пропагатора кварка

(p; g,m,)=Z

_-1

=iZ

_-1

1-C

₂

)

(

- Z

m{1-C

₂

)}

Как отмечалось выше, для того чтобы определить перенормировочный множитель Z, нужно задать значение кваркового пропагатора S_R при некотором заданном 4-импульсе p=p.. Потребуем, чтобы в этой точке перенормированный пропагатор S_R совпадал с пропагатором свободной частицы

(p; q,m,) =

- m

(9.12)

Таким образом, находим, что при р²=-² перенормировочный множитель Z_F имеет вид

(

)

^FD

{

(1-)N

-1-

dx[2(1-x)-]

₀

log

+x(1-x)

)

}

⁰

₀

(9.13)

(

)

1-C

{

-1-2

dx(1+x)log

+x(1-x)

₀

(

)

}

₀

(9.14)

Нужно подчеркнуть следующий важный факт: в то время как расходящаяся часть перенормировочного множителя Z_F зависит от калибровки, расходящаяся часть множителя Z_m калибровочно-независима, хотя в рамках данной схемы конечная часть перенормировочного множителя Z_m все еще зависит от калибровки. Калибровочная зависимость множителя Z_F означает, что можно выбрать такую калибровку, в которой этот множитель конечен. Из выражения (9.13) видно, что во втором порядке теории возмущений фермионный перенормировочный множитель Z_F конечен в калибровке Ландау, когда =1^14a)

^14a Калибровка Ландау удобна а теории, описывающей базмассовые частицы. В этой калибровке на только перенормировочный множитель Z_F конечен, но и массовый оператор ⁽²⁾ равен нулю.

Перейти на страницу: