Курс теоретической астрофизики

Мы видим, что уравнение (10.64) принадлежит к типу уравнений, подробно рассмотренных в § 3. Если в уравнении (3.1) положить

𝐾(𝑡)

=

λ

2

𝐸₁𝑡

=

λ

2

∞

∫

1

𝑒

^-𝑡𝑥

𝑑𝑥

𝑥

,

(10.66)

то мы получим уравнение (10.64). При представлении ядра 𝐾(𝑡) в форме (3.17) имеем 𝐴(𝑥)=λ/2𝑥.

Согласно способу, изложенному в § 3, решение уравнения (10.64) надо начинать с нахождения функции 𝑆(0,𝑥) определённой уравнением (3.20). В данном случае, полагая 𝑥=1/μ и 𝑆(0,𝑥)=φ(μ), вместо (3.20) имеем

φ(μ)

=

1+

λ

2

φ(μ)μ

1

∫

0

φ(μ')

μ+μ'

𝑑μ'

.

(10.67)

При λ=1 из (10.67) получается ранее рассмотренное уравнение (3.53).

Функция φ(μ), впервые введённая В. А. Амбарцумяном, была затем подробно изучена рядом авторов. В табл. 11 приведены значения этой функции, а в табл. 12 — значения её моментов [т.е. величин, определённых формулой (3.59)].

Таблица 11

Значения функции φ(μ)

μ

λ

0

0,4

0,6

0,8

0,85

0,90

0,925

0,95

0,975

1

0

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,1

1,00

1,06

1,09

1,14

1,15

1,17

1,18

1,20

1,21

1,25

0,2

1,00

1,09

1,15

1,23

1,26

1,29

1,31

1,34

1,37

1,45

0,3

1,00

1,11

1,19

1,30

1,34

1,39

1,42

1,46

1,51

1,64

0,4

1,00

1,13

1,22

1,36

1,41

1,48

1,52

1,57

1,64

1,83

0,5

1,00

1,14

1,25

1,41

1,48

1,56

1,61

1,67

1,76

2,01

0,6

1,00

1,15

1,27

1,46

1,53

1,63

1,69

1,77

1,88

2,19

0,7

1,00

1,16

1,29

1,50

1,58

1,69

1,76

1,85

1,98

2,37

0,8

1,00

1,17

1,31

1,54

1,63

1,75

1,83

1,93

2,08

2,55

0,9

1,00

1,18

1,32

1,57

1,67

1,81

1,89

2,01

2,18

2,73

1,0

1,00

1,18

1,34

1,60

1,71

1,85

1,95

2,08

2,27

2,91

Таблица 12

Значения моментов функции φ(μ)

λ

0

0,4

0,6

0,8

0,85

0,90

0,925

0,95

0,975

1

α₀

1,00

1,13

1,23

1,38

1,44

1,52

1,57

1,63

1,73

2,00

α₁

0,50

0,58

0,64

0,74

0,77

0,83

0,86

0,90

0,96

1,15

α₂

0,33

0,39

0,43

0,50

0,53

0,57

0,59

0,63

0,67

0,82

Функция 𝑆(𝑡) являющаяся решением уравнения (10.64), может быть выражена через функцию φ(μ). Однако нас сейчас интересуют лишь профили линий поглощения. Поэтому мы должны найти только интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, т.е. величину 𝐼(0,μ). Как мы знаем, величина 𝐼(0,μ) также выражается непосредственно через функцию φ(μ).

В данном случае, т.е. когда 𝑔(𝑡) является линейной функцией от 𝑡, для определения интенсивности излучения 𝐼(0,μ) мы должны использовать формулы (3.41) и (3.48). Первая из них получена при 𝑔(𝑡)=1, вторая — при 𝑔(𝑡)=𝑡 Как следует из формулы (3.27), при ядре вида (10.66)

𝑆(0,0)

=

1

√1-λ

.

(1.68)

Поэтому находим

𝐼(0,μ)

=

φ(μ)

√1-λ

⎡

⎢

⎣

𝑐₀

+

𝑐₁

⎛

⎜

⎝

μ

+

λ

2

α₁

√1-λ

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(1.69)

где α₁ — первый момент функции φ(μ).

Сопоставляя между собой свободный член уравнения (10.60) и выражение (10.65) для функции 𝑔(𝑡), получаем следующее выражение для интенсивности излучения, выходящего из атмосферы в частоте ν:

𝐼

_ν

(0,μ)

=

φ_ν(μ)

√1-λ_ν

1+𝑄γη_ν

1+η_ν

𝐵

_ν

(𝑇₀)

×

×

⎡

⎢

⎣

1

+

β_ν⃰

1+η_ν

⎛

⎜

⎝

μ

+

λ_ν

2

α_ν₁

√1-λ_ν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(10.70)

Здесь под φ_ν(μ) понимается функция φ(μ), определённая уравнением (10.67) при значении λ, даваемом формулой (10.63).

Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы в непрерывном спектре вблизи линии, получается из (10.70) при η_ν=0. Она равна

𝐼

_μ

⁰(0,μ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

(1+β

_ν

⃰μ)

.

(10.71)

Из (10.70) и (10.71) следует, что величина 𝑟_ν(μ), определяющая профиль линии поглощения на угловом расстоянии arccos μ от центра диска, даётся формулой

𝑟

_ν

(μ)

=

𝐼_μ(0,μ)

𝐼_μ⁰(0,μ)

=

φ_ν(μ)

(1+β_ν⃰μ)√1-λ_ν

1+𝑄γη_ν

1+η_ν

×

×

⎡

⎢

⎣

1

+

β_ν⃰

1+η_ν

⎛

⎜

⎝

μ

+

λ_ν

2

α_ν₁

√1-λ_ν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(10.72)

Для однородной атмосферы (т.е. в случае β_ν⃰=0) и при отсутствии флуоресценции (т.е. при γ=0) из формулы (10.72) находим

𝑟

_ν

(μ)

=

φ_ν(μ)

√1+η_ν

.

(10.73)

Формула (10.72) (при 𝑄=1) была впервые получена Чандрасекаром.

§ 11. Линии поглощения при некогерентном рассеянии

1. Перераспределение излучения по частотам внутри линии.

В предыдущем параграфе при рассмотрении вопроса об образовании линий поглощения в звёздных спектрах были сделаны два предположения: 1) о чистом рассеянии в спектральной линии (т.е. об отсутствии перераспределения излучения между линиями, а также между линиями и непрерывным спектром), 2) о когерентном рассеянии (т.е. об отсутствии перераспределения излучения по частотам внутри линии). Однако профили линий, вычисленные при этих предположениях, весьма сильно отличаются от наблюдённых профилей. Это свидетельствует о том, что указанные предположения на самом деле не осуществляются, и от них надо отказаться. Учёт флуоресценции (точнее говоря, перераспределения излучения между линиями и непрерывным спектром), уже произведённый выше, значительно уменьшает расхождение между теорией и наблюдениями. Теперь мы примем во внимание и некогерентность рассеяния, т.е. изменение частоты излучения при элементарном акте рассеяния.

Перечислим сначала причины, приводящие к перераспределению излучения по частотам внутри линии.