Курс теоретической астрофизики

где ε_ν' — объёмный коэффициент излучения, обусловленный процессами первого рода, а под γ понимается доля квантов в спектральной линии, испытавших истинное поглощение (т.е. доля атомов, перешедших из второго состояния в ионизованное); введением величины γ учитываются процессы второго рода.

Пользуясь изложенными выше соображениями, легко найти выражение для величины ε_ν'. В глубоких слоях атмосферы, где число процессов первого рода равно числу процессов второго рода,

ε

_ν

'

=

γ

σ

_ν

𝐼

_ν

.

(10.41)

Вместе с тем в тех же слоях 𝐼_ν=𝐵_ν(𝑇) Поэтому вместо (10.41) имеем

ε

_ν

'

=

γ

σ

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(10.42)

Можно считать, что полученное выражение для ε_ν', сохранится и при переходе от глубоких слоёв атмосферы к более внешним, так как плотность излучения, вызывающего ионизацию атомов из основного состояния, в атмосфере не меняется. Однако чтобы учесть возможное отличие плотности этого излучения в атмосфере звезды от плотности при термодинамическом равновесии, мы введём в правую часть соотношения (10.42) некоторый поправочный множитель 𝑄. Тогда получаем

ε

_ν

=

(1-γ)

σ

_ν

𝐼

_ν

+

𝑄

γ

σ

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(10.43)

Подставляя (10.43) в (10.21), а также переходя от переменной 𝑟 к τ_ν, находим

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑τ_ν

=

(1+η

_ν

)𝐼

_ν

-

(1-γ)

η

_ν

𝐼

_ν

-

-

(1+𝑄γη

_ν

)

𝐵

_ν

(𝑇)

,

(10.44)

где η_ν определяется формулой (10.24).

Получим приближённое решение уравнения (10.44), считая, что η_ν=const. Из этого уравнения имеем

𝑑𝐻_ν

𝑑τ_ν

=

(1+γη

_ν

)

𝐼

_ν

-

(1+𝑄γη

_ν

)

𝐵

_ν

,

(10.45)

𝑑𝐼_ν

𝑑τ_ν

=

3(1+η

_ν

)

𝐻

_ν

.

(10.46)

Отсюда получается следующее уравнение для определения 𝐼_ν:

𝑑²𝐼_ν

𝑑τ_ν²

=

3(1+η

_ν

)

⎡

⎣

(1+γη

_ν

)

𝐼

_ν

-

(1+𝑄γη

_ν

)

𝐵

_ν

⎤

⎦

(10.47)

Решение уравнения (10.47) имеет вид

𝐼

_ν

=

𝐶

_ν

exp

⎛

⎝

-

𝑏

_ν

τ

_ν

⎞

⎠

+

1+𝑄γη_ν

1+γη_ν

𝐵

_ν

(𝑇₀)

(1+

β

_ν

⃰

τ

_ν

),

(10.48)

где

𝑏

_ν

²

=

3(1+η

_ν

)

(1+γη

_ν

)

,

(10.49)

а 𝐶_ν — произвольная постоянная. Постоянная при exp(𝑏_ντ_ν) равна нулю, так как 𝐼_ν не может с увеличением τ_ν возрастать экспоненциально. Подставляя (10.48) в (10.46), находим

𝐻

_ν

=

1

3(1+η_ν)

⎡

⎢

⎣

-𝑏

_ν

𝐶

_ν

exp

⎛

⎝

-

𝑏

_ν

τ

_ν

⎞

⎠

+

+

1+𝑄γη_ν

1+γη_ν

𝐵

_ν

(𝑇₀)

β

_ν

⃰

⎤

⎥

⎦

(10.50)

Определяя постоянную 𝐶_ν из условия (10.33), получаем следующее выражение для интересующего нас потока излучения на границе звезды:

𝐻

_ν

(0)

=

4π

𝐵

_ν

(𝑇₀)

1+𝑄γη_ν

1+γη_ν

𝑏_ν+β_ν⃰

3(1+η_ν)+2𝑏_ν

.

(10.51)

Отсюда вытекает, что

𝑟

_ν

=

1+𝑄γη

_ν

•

𝑏

_ν

+β

_ν

⃰

•

√

3

+2

.

1+γη

_ν

1

+

β

_ν

⃰

3(1+η

_ν

)+2𝑏

_ν

√

3

(10.52)

Полученная формула для 𝑟_ν является обобщением формулы (10.37) на случай наличия флуоресценции.

Для того чтобы пользоваться формулой (10.52), надо определить величину γ. Как уже сказано, она равна отношению числа ионизаций из второго состояния к сумме числа ионизаций и числа спонтанных переходов из этого состояния. При помощи эйнштейновских коэффициентов переходов (см. § 8) величина γ представляется в виде

γ

=

𝐵₂₃ρ₂₃

𝐵₂₃ρ₂₃+𝐴₂₁

.

(10.53)

В этой формуле

𝐵₂₃ρ₂₃

=

𝑐

∞

∫

ν₂₃

ρ

_ν

𝑘

_2ν

𝑑ν

ℎν

,

(10.54)

где ν₂₃ — частота ионизации из второго состояния, 𝑘_2ν — коэффициент поглощения за границей второй серии.

Для грубой оценки величины γ можно поступить так. Будем считать, что величина 𝐵₂₃ρ₂₃ действительно является произведением плотности излучения непосредственно за границей второй серии ρ₂₃ на эйнштейновский коэффициент перехода [определённый в согласии с формулой (10.54)]. Тогда, представляя ρ₂₃ и 𝐴₂₁ в виде

ρ₂₃

=

σ₂₃

,

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν₂₃

⎞

⎟

⎠

-1

𝑘𝑇

(10.55)

𝐴₂₁

=

𝑔₁

𝑔₂

σ₁₂

𝐵₁₂

(10.56)

где

σ

_𝑖𝑘

=

8πℎν_𝑖³𝑘

𝑐³

,

(10.57)

и принимая приближённо 𝑔₂≈𝑔₁, σ₁₂≈σ₂₃, 𝐵₁₂≈𝐵₂₃, получаем

γ

≈

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν₂₃

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(10.58)

Оценка величины γ по формуле (10.58) для атомов с потенциалом ионизации из возбуждённого состояния около 3 эВ (например, для Na I и Са I) при температуре Солнца даёт γ≈10⁻³. Вычисления по формулам (10.53) и (10.54) приводят к значениям такого же порядка (γ=0,0015 для линий D₁ и D₂ натрия и γ=0,0004 для линии λ 4227 Са I).

Формулу (10.52) для 𝑟_ν и сделанные оценки величины γ мы используем ниже (в § 11) при обсуждении вопроса о центральных интенсивностях линий поглощения.

4. Точное решение задачи.

Рассматриваемую нами задачу об определении профилей линий поглощения в звёздных спектрах при сделанных выше предположениях можно решить точно. Для получения такого решения мы применим способ, изложенный в § 3.

Уравнение переноса излучения мы возьмём в форме (10.21), а коэффициент излучения ε_ν зададим уравнением (10.43), т.е. примем во внимание флуоресценцию. Указанные уравнения можно переписать в виде

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑡_ν

=

𝐼

_ν

-

𝑆

_ν

,

(10.59)

где 𝑑𝑡_ν=-(σ_ν+α_ν) 𝑑𝑟 и

𝑆

_ν

=

(1-γ)

η_ν

1+η_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

+

1+𝑄γη_ν

1+η_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(10.60)

Функцию 𝐵_ν(𝑇), как и выше, представим формулой (9.15). Переходя в ней от τ_ν к 𝑡_ν, имеем

𝐵

_ν

(𝑇)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎛

⎜

⎝

1+

β_ν⃰

1+η_ν

⎞

⎟

⎠

(10.61)

где

β

_ν

⃰

=

β

_ν

α

α_ν

.

Решая уравнение (10.59) относительно 𝐼_ν и подставляя найденное выражение 𝐼_ν через 𝑆_ν в уравнение (10.60) (т.е. поступая так же, как в § 2 при получении уравнения Милна), мы приходим к следующему интегральному уравнению для определения функции 𝑆_ν(𝑡_ν):

𝑆

_ν

(𝑡

_ν

)

=

λ_ν

2

∞

∫

0

𝐸₁|𝑡

_ν

-𝑡

_ν

'|

𝑆

_ν

(𝑡

_ν

')

𝑑𝑡

_ν

'

+

+

1+𝑄γη_ν

1+η_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

,

(10.62)

где обозначено

λ

_ν

=

(1-γ)

η_ν

1+η_ν

.

(10.63)

Перепишем уравнение (10.62) в виде

𝑆(𝑡)

=

λ

2

∞

∫

0

𝐸₁|𝑡-𝑡'|

𝑆(𝑡')

𝑑𝑡'

+

𝑔(𝑡)

,

(10.64)

опуская для простоты на время индекс ν. Свободный член этого уравнения является линейной функцией от 𝑡 т.е.

𝑔(𝑡)

=

𝑐₀

+

𝑐₁𝑡

.

(10.65)