Курс теоретической астрофизики

После рассмотрения процессов, происходящих при элементарном акте рассеяния, перейдём к определению профилей линий поглощения. При этом, как уже сказано, сделаем предположение о полном перераспределении излучения по частотам.

Для простоты будем считать, что флуоресценция отсутствует. В таком случае уравнение переноса излучения мы должны взять в форме (10.21), а выражение для коэффициента излучения — в форме (11.8).

Введём оптическую глубину τ в непрерывном спектре при помощи соотношения 𝑑τ=-α_ν𝑑𝑟 (для упрощения записи мы опускаем индекс ν при τ). Тогда указанные уравнения принимают вид

μ

𝑑𝐼_ν(τ,ν)

𝑑τ

=

(η

_ν

+1)

𝐼

_ν

(τ,ν)

-

η

_ν

𝑆(τ)

-

𝐵

_ν

(𝑇)

(11.9)

и

𝑆(τ)

=

½

∫

𝑝

_ν

𝑑ν

+1

∫

-1

𝐼

_ν

(τ,ν)

𝑑ν

,

(11.10)

где μ=cos θ, η=σ_ν/α и использовано обозначение (11.5).

Величину 𝐵_ν(𝑇) мы раньше брали в виде линейной функции от τ, однако теперь для простоты будем считать её постоянной и равной 𝐵_ν(𝑇₀).

Из уравнения (11.9) следует, что искомая интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, равна

𝐼

_ν

(0,μ)

=

η_ν

η_ν+1

∞

∫

0

𝑆(τ)

𝑒

^-𝑥τ

𝑥

𝑑τ

+

𝐵_ν(𝑇₀)

η_ν+1

,

(11.11)

где обозначено

𝑥

=

η_ν+1

μ

.

(11.12)

Для составления интегрального уравнения, определяющего функцию 𝑆(τ), найдём интенсивность излучения 𝐼_ν из (11.9) и подставим в (11.10). В результате получаем

𝑆(τ)

=

½

∫

𝑝

_ν

𝑑ν

∞

∫

0

⎡

⎣

η

_ν

𝑆(τ')

+

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎤

⎦

𝐸₁

×

×

⎡

⎣

|τ-τ'|

(η

_ν

+1)

⎤

⎦

𝑑τ'

.

(11.13)

Уравнение (11.13) может быть переписано в виде

𝑆(τ)

=

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ'|)

𝑆(τ')

𝑑τ'

+

𝑔(τ)

,

(11.14)

где

𝐾(τ)

=

½

∫

𝑝

_ν

η

_ν

𝑑ν

∞

∫

η_ν+1

𝑒

^-𝑥τ

𝑑𝑥

𝑥

(11.15)

и

𝑔(τ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎡

⎢

⎣

∫

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

-

½

∫

𝑝

_ν

𝑑ν

∞

∫

η_ν+1

𝑒

^-𝑥τ

𝑑𝑥

𝑥²

⎤

⎥

⎦

.

(11.16)

Меняя порядок интегрирования в (11.15), находим

𝐾(τ)

=

∞

∫

0

𝑒

^-𝑥τ

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

,

(11.17)

где

𝐴(𝑥)

=

1

𝑥

∞

∫

ν(𝑥)

𝑝

_ν

η

_ν

𝑑ν

,

(11.18)

а ν(𝑥)=ν₀, если 𝑥>η_ν₀, и η_ν(𝑥)+1=𝑥, если 𝑥<η_ν₀+1 (ν₀ — центральная частота линии).

Аналогично получаем

𝑔(τ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎡

⎢

⎣

∫

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

-

½

∞

∫

1

𝑒

^-𝑥τ

𝐴₁(𝑥)

𝑑𝑥

⎤

⎥

⎦

,

(11.19)

где

𝐴₁(𝑥)

=

1

𝑥²

∞

∫

ν(𝑥)

𝑝

_ν

𝑑ν

(11.20)

и нижний предел интегрирования определяется так же, как в (11.18).

Уравнение (11.14) может быть решено методом, изложенным в § 3. Однако нас интересует не сама функция 𝑆(τ), а только интенсивность излучения, выходящего из атмосферы. Эту же величину можно найти по формулам, приведённым в § 3, без предварительного определения функции 𝑆(τ). При этом она будет выражена через функцию 𝑆(0,𝑥), определённую уравнением (3.20).

Из формулы (11.19) мы видим, что свободный член уравнения (11.14) состоит из двух частей: постоянной и суперпозиции экспонент. Поэтому, обозначая через 𝑆(τ,𝑥) решение уравнения (11.14) при свободном члене 𝑒^-𝑥τ, получаем

𝑆(τ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎡

⎢

⎣

𝑆(τ,0)

∫

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

-

-

½

∞

∫

1

𝑆(τ,𝑥)

𝐴₁(𝑥)

𝑑𝑥

⎤

⎥

⎦

.

(11.21)

Подставляя (11.21) в (11.11) и пользуясь формулой (3.19), находим

𝐼

_ν

(0,μ)

=

η_ν

η_ν+1

𝐵

_ν

(𝑇₀)

𝑆(0,𝑥)

×

×

⎡

⎢

⎣

𝑆(0,0)

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

-

𝑥

2

∞

∫

1

𝑆(0,𝑦)

𝑥+𝑦

𝐴₁(𝑦)

𝑑𝑦

⎤

⎥

⎦

+

𝐵_ν(𝑇₀)

η_ν+1

.

(11.22)

Входящая в формулу (11.22) величина 𝑆(0,0) может быть найдена при помощи соотношения (3.27). Принимая во внимание (11.17), вместо этого соотношения имеем

𝑆²(0,0)

=

⎡

⎢

⎣

1-2

∞

∫

0

𝐾(τ)

𝑑τ

⎤

⎥

⎦

=

1.

(11.23)

Подставляя сюда выражение (11.15), получаем

𝑆²(0,0)

∫

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

=

1.

(11.24)

Поэтому формула (11.22) принимает вид

𝐼

_ν

(0,μ)

=

η_ν

η_ν+1

𝐵

_ν

(𝑇₀)

𝑆(0,𝑥)

×

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

⎞½

⎟

⎠

-

𝑥

2

∞

∫

1

𝑆(0,𝑦)

𝑥+𝑦

𝐴₁(𝑦)

𝑑𝑦

⎤

⎥

⎦

+

𝐵_ν(𝑇₀)

η_ν+1

.

(11.25)

Формулой (11.25) и даётся искомая интенсивность излучения, выходящего из атмосферы внутри спектральной линии. Вне линии интенсивность излучения в данном случае равна 𝐵_ν(𝑇₀). Поэтому для величины 𝑟_ν(μ) имеем

𝑟

_ν

(μ)

=

𝐼_ν(0,μ)

𝐵_ν(𝑇₀)

(11.26)

Функция 𝑆(0,𝑥), через которую выражается интенсивность излучения 𝐼_ν(0,μ), определяется уравнением (3.20). Полагая 𝑥=1/𝑧 и 𝑆(0,𝑥)=φ(𝑧), вместо этого уравнения получаем

φ(𝑧)

=

1+

𝑧φ(𝑧)

1

∫

0

φ(𝑧')

𝑧+𝑧'

𝐴

⎛

⎜

⎝

1

𝑧'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑧'

𝑧'

.

(11.27)

В новых обозначениях формула для 𝑟_ν(μ) записывается в виде

𝑟

_ν

(μ)

=

1

η_ν+1

+

η_ν

η_ν+1

φ(𝑧)

×

×

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

⎞½

⎟

⎠

-

½

1

∫

0

φ(𝑧')

𝑧+𝑧'

𝐴₁

⎛

⎜

⎝

1

𝑧'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑧'

𝑧'

⎤

⎥

⎦

.

(11.28)

Для вычисления величины 𝑟_ν(μ) по формуле (11.28) необходимо найти функцию φ(𝑧) из уравнения (11.27). Это легко достигается численными методами.

Формула (11.28) даёт окончательное выражение для величины 𝑟_ν(μ), определяющей профиль линии поглощения при полностью некогерентном рассеянии. Эта формула может быть легко обобщена на тот случай, когда функция 𝐵ν(𝑇) представляется в виде линейной функции от τ и учитывается флуоресценция [7].

Следует подчеркнуть, что предположение о полном перераспределении излучения по частоте сильно упрощает теорию образования спектральных линий. При таком предположении, в большинстве случаев оправдывающемся на практике, были решены многие важные задачи, относящиеся к звёздным спектрам (см. [8]). Однако при решении некоторых частных задач (особенно касающихся резонансных линий) должны использоваться истинные законы перераспределения излучения по частоте внутри линии.

3. Центральные интенсивности линий поглощения.

До сих пор мы не занимались сравнением рассматриваемой теории образования линейчатых спектров звёзд с результатами наблюдений. Сделаем это сейчас в отношении центральных интенсивностей линий поглощения.