Курс теоретической астрофизики

Если мы подставим сюда найденное выражение для 𝑆_ν и воспользуемся формулой (9.10), то получим искомую величину 𝑟_ν(θ), характеризующую профиль линии поглощения на угловом расстоянии θ от центра диска.

Чтобы определить величину 𝑟_ν, характеризующую профиль линии в спектре всей звезды, надо найти потоки излучения, выходящего из атмосферы в частоте ν внутри линии и в непрерывном спектре вблизи линии. В принятом приближении эти величины равны

𝐻

_ν

=

π𝐹

_ν

,

𝐻

_ν

⁰

=

π

𝐹

_ν

⁰

.

(10.14)

Подставляя (10.14) в (9.11) и пользуясь второй из формул (10.11), получаем

𝑟

_ν

=

1

1+𝑡_ν⁰

.

(10.15)

Заметим, что величина 1/(1+𝑡_ν⁰) представляет собой долю фотосферного излучения, пропущенного атмосферой в частоте ν (вообще говоря, после многократных рассеяний). Величина же 𝑡_ν⁰/(1+𝑡_ν⁰) есть доля этого излучения, отражённого обратно в фотосферу.

Мы можем переписать формулу (10.15) в несколько другом виде. Входящая в неё величина 𝑡_ν⁰/(1+𝑡_ν⁰) представляющая собой оптическую толщину атмосферы в частоте ν, равна

𝑡

_ν

⁰/(1+𝑡

_ν

⁰)

=

∞

∫

𝑟₀

σ

_ν

𝑑𝑟

,

(10.16)

где 𝑟₀ — радиус основания атмосферы. Представим объёмный коэффициент поглощения в виде σ_ν=𝑛𝑘_ν, где 𝑛 — число атомов в нижнем состоянии для данной линии (или, как иногда говорят, число поглощающих атомов) в 1 см³ и 𝑘_ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Тогда, считая, что 𝑘_ν не зависит от места в атмосфере, вместо (10.16) получаем

𝑡

_ν

⁰

=

𝑘

_ν

𝑁

,

(10.17)

где

𝑁

=

∞

∫

𝑟₀

𝑛(𝑟)

𝑑𝑟

.

(10.18)

Величина 𝑁 есть число поглощающих атомов в столбе с сечением 1 см² над фотосферой. Подставляя (10.17) в (10.15), находим

𝑟

_ν

=

1

1+𝑘_ν𝑁

.

(10.19)

Если бы для решения системы уравнений (10.5) мы использовали второй приближённый метод (т.е. метод Эддингтона), то получили бы следующее выражение для величины 𝑟_ν:

𝑟

_ν

=

1

.

1

+

3

𝑘

_ν

𝑁

4

(10.20)

Как видим, оно не сильно отличается от выражения (10.19).

2. Модель Эддингтона.

Сделанное выше предположение о разделении внешних частей звезды на два слоя, фотосферу и атмосферу, является довольно грубым. Теперь мы откажемся от этого предположения и будем считать, что в каждом элементарном объёме происходит поглощение и излучение энергии как в непрерывном спектре, так и в линиях. Такую модель внешних слоёв звезды будем называть моделью Эддингтона.

Строго говоря, при принятии модели Эддингтона задачи об образовании непрерывного и линейчатого спектров звёзд следует рассматривать совместно. Однако влияние поглощения и излучения в линиях на возникновение непрерывного спектра невелико и в первом приближении им можно пренебречь (это влияние, как мы знаем из § 8, учитывается во втором приближении в виде так называемого «покровного эффекта»). Следовательно, при решении задачи об образовании линейчатых спектров звёзд все величины, относящиеся к непрерывному спектру, можно считать известными.

Уравнения, определяющие интенсивность излучения внутри линии в случае модели Эддингтона, уже были получены ранее. Одним из них является уравнение переноса излучения (9.1), а другим— уравнение лучистого равновесия (10.1). Уравнение (9.1) можно переписать в виде

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

(σ

_ν

+α

_ν

)

𝐼

_ν

+

ε

_ν

+

α

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(10.21)

Здесь мы воспользовались соотношением (9.2), так как считаем справедливым предположение о локальном термодинамическом равновесии для непрерывного спектра. Подставляя (10.1) в (10.21), получаем одно интегро-дифференциальное уравнение для определения величины 𝐼_ν:

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

(σ

_ν

+α

_ν

)

𝐼

_ν

+

σ

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

+

α

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(10.22)

Вводя оптическую глубину в непрерывном спектре τ_ν посредством соотношения 𝑑τ_ν=-α_ν𝑑𝑟, вместо (10.22) находим

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑τ_ν

=-

(η

_ν

+1)

𝐼

_ν

-

η

_ν

∫

𝑑ω

4π

-

𝐵

_ν

(𝑇)

,

(10.23)

где обозначено

η

_ν

=

σ_ν

α_ν

.

(10.24)

Вообще говоря, величина η_ν является очень сложной функцией от глубины, однако в дальнейшем для простоты мы примем, что η_ν=const.

Для получения приближённого решения уравнения (10.23) применим метод Эддингтона (см. § 2). Предварительно введём обозначения:

𝐼

_ν

=

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

,

𝐻

_ν

=

∫

𝐼

_ν

cos θ

𝑑ω

4π

.

(10.25)

Величина 𝐼_ν представляет собой среднюю интенсивность излучения в данном месте, а 4π𝐻_ν — поток излучения.

Умножив (10.23) сначала на 𝑑ω/4π, а затем на cos θ 𝑑ω/4π, и проинтегрировав по всем телесным углам, находим

𝑑𝐻_ν

𝑑τ_ν

=

𝐼

_ν

-

𝐵

_ν

,

(10.26)

1

3

𝑑𝐼_ν

𝑑τ_ν

=

(1+η

_ν

)

𝐻

_ν

.

(10.27)

Здесь мы использовали приближённое соотношение

∫

𝐼

_ν

cos²θ

𝑑ω

4π

=

1

3

𝐼

_ν

.

(10.28)

Из уравнений (10.26) и (10.27) получаем следующее уравнение для определения 𝐼_ν:

𝑑²𝐼_ν

𝑑τ_ν²

=

3(1+η

_ν

)

(

𝐼

_ν

-

𝐵

_ν

).

(10.29)

Для величины 𝐵_ν(𝑇), как и раньше, мы возьмём выражение (9.15), т.е. будем считать её линейной функцией от τ_ν. В таком случае частное решение уравнения (10.29) будет просто равно 𝐵_ν(𝑇). В качестве общего же решения этого уравнения находим

𝐼

_ν

=

𝐶

_ν

exp

⎛

⎝

-τ

_ν

√

3(1+η

_ν

)

⎞

⎠

+

+

𝐷

_ν

exp

⎛

⎝

τ

_ν

√

3(1+η

_ν

)

⎞

⎠

+

𝐵

_ν

,

(10.30)

где 𝐶_ν и 𝐷_ν — произвольные постоянные.

Очевидно, что в глубоких слоях атмосферы, где линии в спектре отсутствуют, 𝐼_ν=𝐶_ν. Поэтому должно быть 𝐷_ν=0. Следовательно, имеем

𝐼

_ν

=

𝐶

_ν

exp

⎛

⎝

-τ

_ν

√

3(1+η

_ν

)

⎞

⎠

+

𝐵

_ν

(𝑇₀)

(1+β

_ν

⃰τ

_ν

)

,

(10.31)

где обозначено β_ν⃰=β_να/α_ν. При помощи (10.27) получаем

𝐻

_ν

=

1

3(1+η_ν)

⎡

⎢

⎣

-

𝐶

_ν

exp

⎛

⎝

-τ

_ν

√

3(1+η

_ν

)

⎞

⎠

×

×

√

3(1+η

_ν

)

+

𝐵

_ν

(𝑇₀)

β

_ν

⃰

⎤

⎥

⎦

.

(10.32)