Курс теоретической астрофизики

В предыдущем параграфе мы сделали допущение о локальном термодинамическом равновесии в звёздных атмосферах и в соответствии с этим для коэффициента излучения в линии ε_ν пользовались формулой (9.3). Однако это допущение не подтверждается наблюдениями, и поэтому мы должны рассмотреть те реальные физические процессы, которые обусловливают величину ε_ν. Как уже говорилось, возбуждение атомов во внешних слоях звёзд вызывается в основном излучением. Следовательно, энергия, излучаемая каким-либо объёмом, зависит от лучистой энергии, поглощаемой этим объёмом. Поэтому чтобы написать выражение для ε_ν надо знать долю энергии, излучаемой в частоте ν внутри данной линии, из общего количества поглощаемой лучистой энергии.

Сначала при нахождении величины ε_ν мы сделаем следующие два предположения:

1. Будем считать, что количество энергии, излучаемое элементарным объёмом в данной линии, точно равно количеству энергии, поглощаемому этим объёмом в той же линии, т.е. нет перераспределения энергии между линиями, а также нет других процессов, ведущих к появлению или исчезновению квантов в рассматриваемой линии. В таком случае говорят о чистом рассеянии излучения в спектральной линии.

2. Будем считать, что энергия, поглощаемая элементарным объёмом в данной частоте внутри линии, испускается им в точности в той же частоте, т.е. нет перераспределения излучения по частотам внутри линии. Такой процесс называется когерентным рассеянием излучения.

Указанные предположения были сделаны ещё в первых работах по теории звёздных спектров и принимались в течение долгого времени. Впоследствии выяснилось, что они весьма далеки от действительности. Это повело к различным уточнениям теории, которые мы рассмотрим позднее.

Из сделанных предположений вытекает, что каждый элементарный объём излучает столько энергии в данной частоте внутри линии, сколько он её поглощает. Таким образом, мы считаем, что в звёздной атмосфере осуществляется монохроматическое лучистое равновесие. Уравнение, выражающее это равновесие, записывается, очевидно, так:

4πε

_ν

=

σ

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

,

(10.1)

где интегрирование производится по всем телесным углам.

Как уже говорилось во введении к этой главе, первоначально в теории звёздных спектров принималось существование резкой границы между фотосферой и атмосферой. При этом считалось, что из фотосферы идёт излучение без линий поглощения, а эти линии возникают при прохождении излучения через атмосферу. Такая модель внешних слоёв звезды называется моделью Шварцшильда — Шустера.

Принимая эту модель, мы должны в уравнении переноса излучения (9.1) положить равными нулю коэффициенты поглощения и излучения в непрерывном спектре. В таком случае уравнение переноса излучения принимает вид

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

σ

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

.

(10.2)

Введём оптическую глубину в частоте ν

𝑡

_ν

=

∞

∫

𝑟

σ

_ν

𝑑𝑟

(10.3)

и обозначим

ε

_ν

=

σ

_ν

𝑆

_ν

.

(10.4)

Тогда вместо уравнений (10.1) и (10.2) получаем

cos θ

𝑑𝐼_ν(𝑡_ν,θ)

𝑑𝑡_ν

=

𝐼

_ν

(𝑡

_ν

,θ)

-

𝑆

_ν

(𝑡

_ν

)

,

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

𝑆

_ν

(𝑡

_ν

)

=

½

π

∫

0

𝐼

_ν

(𝑡

_ν

,θ)

sin θ

𝑑θ

.

(10.5)

Заметим, что уравнения (10.5) формально не отличаются от уравнений (2.8) в теории фотосфер. Однако уравнения (2.8) относятся к интегральному излучению, а уравнения (10.5) - к излучению определённой частоты ν внутри линии.

К системе уравнений (10.5) надо добавить ещё граничные условия. Условие на верхней границе атмосферы (при 𝑡_ν=0) выражает отсутствие излучения, падающего на звезду извне:

𝐼

_ν

(0,θ)

=

0

при

θ

>

π

2

.

(10.6)

Условие на нижней границе атмосферы (при 𝑡_ν=𝑡_ν⁰) должно выражать собой тот факт, что интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу, задана и равна интенсивности непрерывного спектра в частоте ν (её, очевидно, можно считать равной интенсивности излучения, выходящего из атмосферы вблизи линии). Обозначая, как и раньше, эту интенсивность через 𝐼_ν⁰(0,θ), имеем

𝐼

_ν

(𝑡

_ν

⁰,θ)

=

𝐼

_ν

⁰(0,θ)

при

θ

<

π

2

.

(10.7)

Таким образом, задача состоит в решении системы уравнений (10.5) при граничных условиях (10.6) и (10.7).

Для решения полученной системы уравнений могут быть использованы методы, изложенные в гл. I. Применим к ней первый приближённый метод (т.е. метод Шварцшильда — Шустера).

Обозначая через 𝐼_ν' среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через 𝐼_νʺ — среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз, вместо системы уравнений (10.5) приближённо получаем

1

2

𝑑𝐼_ν'

𝑑𝑡_ν

=

𝐼

_ν

'

-

𝑆

_ν

,

-

1

2

𝑑𝐼_νʺ

𝑑𝑡_ν

=

𝐼

_ν

ʺ

-

𝑆

_ν

,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑆

_ν

'

=

(

𝐼

_ν

'

-

𝐼

_ν

ʺ

).

(10.8)

Из уравнений (10.8) следует

𝐼

_ν

'

-

𝐼

_ν

ʺ

=

𝐹

_ν

,

𝐼

_ν

'

+

𝐼

_ν

ʺ

=

2𝐹

_ν

𝑡

_ν

+

𝐶

_ν

,

(10.9)

где 𝐹_ν и 𝐶_ν — произвольные постоянные.

Граничные условия (10.6) и (10.7) в данном случае принимают вид

𝐼

_ν

ʺ

=

0

при

𝑡

_ν

=

0

,

𝐼

_ν

'

=

𝐼

_ν

⁰

при

𝑡

_ν

=

𝑡

_ν

⁰

,

(10.10)

где 𝐼_ν⁰ — средняя интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу. При помощи (10.10) находим

𝐶

_ν

=

𝐹

_ν

,

𝐹

_ν

=

𝐼_ν⁰

1+𝑡_ν⁰

.

(10.11)

Знание произвольных постоянных позволяет получить из уравнений (10.8) и (10.9) следующее выражение для функции 𝑆_ν:

𝑆

_ν

=

𝐼_ν⁰

1+𝑡_ν⁰

⎛

⎜

⎝

1

2

+

𝑡

_ν

⎞

⎟

⎠

.

(10.12)

Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, в рассматриваемом случае равна

𝐼

_ν

(0,θ)

=

𝑡_ν⁰

∫

0

𝑆

_ν

(𝑡

_ν

)

𝑒

^{-𝑡_νsec θ}

sec θ

𝑑𝑡

_ν

+

+

𝐼

_ν

⁰(0,θ)

𝑒

^{-𝑡_ν⁰sec θ}

.

(10.13)