Курс теоретической астрофизики

В качестве примера построения моделей звёздных фотосфер и последующего вычисления непрерывных и линейчатых спектров звёзд можно указать большую работу де Ягера и Невена. Названные авторы построили 50 моделей фотосфер с поверхностными температурами 𝑇₀ от 4 000 до 25 000𝙺 и с значениями lg 𝑔 от 1 до 5. Для каждой модели было найдено распределение энергии в непрерывном спектре и определены профили и эквивалентные ширины многих линий (водорода, гелия, углерода, азота и других атомов). Часть результатов, относящихся к линии 𝙷_γ, приведена в табл. 10. Эта таблица, составленная для случая 𝑇₀= 14 000𝙺, содержит значения величины 𝑟_ν на разных расстояниях от центра линии (выраженных в ангстремах) и при различных значениях lg 𝑔. В последнем столбце таблицы даны значения эквивалентной ширины 𝑊 в ангстремах.

Таблица 10

Величины 𝑟_ν и 𝑊 для линии 𝙷_γ

при разных ускорениях силы тяжести

в атмосфере звезды

lg 𝑔

Δ

λ

0

0,5

1

2

4

8

16

32

𝑊

1

0,70

0,74

0,92

0,97

1,00

0,60

2

0,72

0,76

0,84

0,92

0,99

1,00

0,90

3

0,74

0,78

0,81

0,86

0,91

0,96

1,00

2,05

4

0,75

0,76

0,77

0,80

0,86

0,93

0,98

1,00

3,50

5

0,78

0,79

0,81

0,83

0,86

0,90

0,95

1,00

4,20

При вычислении профиля линии 𝙷_γ было взято выражение для коэффициента поглощения, учитывающее эффект Штарка. Как известно, этот эффект действует тем сильнее, чем больше плотность, а плотность в атмосфере тем больше, чем больше ускорение силы тяжести. Этим объясняется тот факт, что эквивалентная ширина линии 𝑊 растёт с увеличением 𝑔.

3. Слабые линии и крылья сильных линий.

Приведённые выше формулы, определяющие профили линий поглощения, сильно упрощаются в случае слабых линий, т.е. таких, для которых σ_ν≪α_ν. Очевидно, что это неравенство справедливо и для внешних частей сильных линий (которые называются обычно крыльями линий). Поэтому упрощение формулы для 𝑟_ν будет относиться и к ним.

Рассмотрим какую-либо линию в спектре всей звезды. При выполнении условия σ_ν≪α_ν формула (9.19) может быть переписана в виде

1-𝑟

_ν

=

β

_ν

σ

_ν

.

3

α

_ν

+

β

_ν

α

_ν

2

α

(9.20)

Мы видим, что в данном случае величина 1-𝑟_ν пропорциональна коэффициенту поглощения в линии σ_ν. Что же касается множителя перед σ_ν, то его можно считать не зависящим от частоты.

В предыдущем параграфе были получены выражения для коэффициента поглощения во внешних частях линии. Пользуясь этими выражениями и формулой (9.20), можно найти величину 1-𝑟_ν в крыльях сильных линий. В частности, если σ_ν определяется затуханием излучения, то

1-𝑟

_λ

=

𝐷₁

(Δλ)²

,

(9.21)

а если σ_ν определяется эффектом Штарка, то

1-𝑟

_λ

=

𝐷₂

(Δλ)⁵^/²

,

(9.22)

где 𝐷₁ и 𝐷₂ — некоторые постоянные. Следует, однако, иметь в виду, что в формуле (9.22) принято во внимание лишь влияние протонов. Если же учитывать и влияние электронов, то, как можно заключить на основании выражения (8.48) для коэффициента поглощения, в достаточно далёких крыльях линий величина 1-𝑟_λ опять даётся формулой (9.21) (разумеется, с другим значением постоянной 𝐷₁). Значение Δλ, при котором надо перейти от одной формулы к другой для величины 1-𝑟_λ в случае действия эффекта Штарка, зависит от электронной концентрации и температуры.

Формула (9.20) является приближённой, так как она основана на приближённой формуле (9.15) и на допущении, что величина σ_ν/α_ν не меняется в атмосфере. Однако при выполнении неравенства σ_ν≪α_ν можно также получить упрощённую формулу для 𝑟_ν, не делая указанных предположений.

На основании формул (9.11) и (9.12) имеем

𝑟

_ν

=

∞

∫

0 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₂ 𝑡_ν 𝑑𝑡_ν

∞

∫

0 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₂ 𝑡_ν 𝑑τ_ν

.

(9.23)

Займёмся числителем этого выражения. Пользуясь равенством

𝑑𝑡

_ν

=

⎛

⎜

⎝

σ_ν

α_ν

+

1

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

_ν

,

мы можем представить его в виде суммы:

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

𝑑𝑡

_ν

=

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

𝑑τ

_ν

+

+

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

σ_ν

α_ν

𝑑τ

_ν

.

(9.24)

Для первого слагаемого находим

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

𝑑τ

_ν

=

∞

∫

1

𝑑𝑧

𝑧²

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑒

^-𝑡

ν

^𝑧

𝑑τ

_ν

=

-

∞

∫

1

𝑑𝑧

𝑧²

∞

∫

0

𝑒

^{-(𝑡_ν-τ_ν)𝑧}

𝑑τ

_ν

𝑑

𝑑τ_ν

∞

∫

τ_ν

𝐵

_ν

(𝑇')

𝑒

^-τ'_ν𝑧

𝑑τ'

_ν

=

=

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

τ

_ν

𝑑τ

_ν

-

∞

∫

0

σ_ν

α_ν

𝑑τ

_ν

∞

∫

τ_ν

𝐵

_ν

(𝑇')

𝐸₁

τ'

_ν

𝑑τ'

_ν

(9.25)

(здесь использовано интегрирование по частям). Во втором же слагаемом при σ_ν≪α_ν можно просто заменить 𝑡_ν на τ_ν. Поэтому вместо соотношения (9.24) получаем

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

𝑑𝑡

_ν

=

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

τ

_ν

𝑑τ

_ν

-

-

∞

∫

0

σ_ν

α_ν

𝑑τ

_ν

⎡

⎢

⎣

∞

∫

τ_ν

𝐵

_ν

(𝑇')

𝐸₁

τ'

_ν

𝑑τ'

_ν

-

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

τ

_ν

⎤

⎥

⎦

.

(9.26)

Подстановка (9.26) в (9.23) даёт

1-𝑟

_ν

=

∞

∫

0

σ_ν

α_ν

𝐺(τ

_ν

)

𝑑τ

_ν

,

(9.27)

где обозначено

𝐺(τ

_ν

)

=

∞

∫

τ_ν 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₁ τ_ν 𝑑τ_ν - 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₂ τ_ν

∞

∫

0 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₂ τ_ν 𝑑τ_ν

.

(9.28)

Формулу (9.28) можно переписать также в виде

𝐺(τ

_ν

)

=

∞

∫

τ_ν

𝑑𝐵_ν(𝑇)

𝑑τ_ν 𝐸₂ τ_ν 𝑑τ_ν

∞

∫

0 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₂ τ_ν 𝑑τ_ν

.

(9.29)

Таким образом, для искомой величины 𝑟_ν мы получили формулу (9.27), в которой функция 𝐺(τ_ν) даётся формулой (9.29). Легко видеть, что в случае, когда для 𝐵_ν(𝑇) принимается выражение (9.15) и величина σ_ν/α_ν считается постоянной в атмосфере, формула (9.27) переходит в приведённую выше формулу (9.20).