С другой стороны, энергия, излучаемая туманностью в линиях «небулия» за 1 с, может быть представлена в виде
4π𝑟
∗
²
∑
Neb
𝐴
𝑖
π𝐼
ν𝑖
⃰
ν
𝑖
,
где 𝐴𝑖 — величины, определённые формулой (22.20), а суммирование ведётся по всем линиям «небулия», возбуждаемым электронным ударом.
При сделанных предположениях два последних количества должны быть равны друг другу, т.е. должно быть
∞
∫
ν₀
𝐼
ν
⃰
(
ν
-
ν₀
)
𝑑ν
ν
=
∑
Neb
𝐴
𝑖
π𝐼
ν𝑖
⃰
ν
𝑖
.
(22.31)
Заменяя здесь величину 𝐼ν⃰ планковской интенсивностью, получаем
∞
∫
ν₀
ν²(ν-ν₀)
𝑑ν
=
∑
Neb
𝐴
𝑖
ν
𝑖
⁴
,
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν
-1
⎞
⎟
⎠
exp
⎛
⎜
⎝
ℎν
𝑖
-1
⎞
⎟
⎠
𝑘𝑇
∗
𝑘𝑇
∗
(22.32)
или, воспользовавшись обозначениями (22.26),
∞
∑
𝑥₀
𝑥²(𝑥-𝑥₀)
𝑒𝑥-1
𝑑𝑥
=
∑
Neb
𝐴
𝑖
𝑥𝑖⁴
𝑒𝑥𝑖-1
(22.33)
Формула (22.33) даёт возможность определить температуру звезды 𝑇∗, если известны из наблюдений величины 𝐴𝑖 для линий «небулия».
Применив данный метод к определению температур ядер планетарных туманностей, Занстра получил температуру 39 000 K для NGC6543, 38 000 K для NGC6552 и 50 000 K для NGC 7009. Мы видим, что эти значения температур весьма близки к приведённым выше значениям 𝑇∗, найденным по линиям водорода.
Для грубой оценки температур звёзд Занстра применил изложенный метод в упрощённом виде. Пользуясь формулой (22.33) и тем фактом, что линии 𝙽₁ и 𝙽₂ определяют собой главную часть визуальной светимости туманности, он получил зависимость между температурой звезды 𝑇∗ и разностью звёздных величин ядра и туманности 𝑚∗-𝑚𝑛. Очевидно, что чем больше эта разность, тем выше температура звезды. По наблюдённым значениям разности 𝑚∗-𝑚𝑛 были определены температуры большого числа ядер туманностей. Оказалось, что в некоторых случаях эти температуры достигают 100 000 K. Высокие температуры звёзд, получаемые этим способом, подтверждаются, как правило, и другими признаками, в частности, большой интенсивностью линий 𝙷𝚎 II в спектрах туманностей.
Изложенные в этом параграфе методы определения температур звёзд широко применяются в астрофизике. При помощи этих методов определяют не только температуры ядер туманностей, но и температуры звёзд с яркими линиями в спектрах: звёзд классов Be, Вольфа — Райе, новых и др.
§ 23. Ионизация атомов
1. Число рекомбинаций.
Как было выяснено, в газовых туманностях происходит ионизация атомов под действием излучения горячих звёзд. Вместе с тем в туманностях происходят и обратные процессы — захваты ионами свободных электронов, т.е. рекомбинации атомов. Число ионизаций может быть определено при помощи коэффициента поглощения в непрерывном спектре, введённого в § 5. Теперь мы получим формулы для определения числа рекомбинаций.
Пусть 𝑛⁺ и 𝑛𝑒 — число ионов и число свободных электронов в 1 см³ соответственно, а 𝑓(𝑣) 𝑑𝑣 — доля электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣. Обозначим через β𝑖(𝑣) эффективное поперечное сечение для захвата электрона со скоростью 𝑣 на 𝑖-й уровень. Тогда число захватов электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣, происходящих в 1 см³ за 1 с, будет равно
𝑛⁺𝑛
𝑒
β
𝑖
(𝑣)
𝑓(𝑣)
𝑣
𝑑𝑣
.
Полное число рекомбинаций в 1 см³ за 1 с на 𝑖-уровень мы представим в виде 𝑛𝑒𝑛⁺𝐶𝑖(𝑇𝑒), где 𝑇𝑒 — температура электронного газа. Очевидно, что
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
=
∞
∫
0
β
𝑖
(𝑣)
𝑓(𝑣)
𝑣
𝑑𝑣
.
(23.1)
Величина β𝑖(𝑣) связана с коэффициентом поглощения в непрерывном спектре атомом, находящимся в 𝑖-м состоянии. Для установления этой связи рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае имеет место детальное равновесие, при котором любой процесс уравновешивается обратным процессом. В частности, число ионизаций, происходящих с 𝑖-го уровня при поглощении квантов с частотами от ν до ν+𝑑ν, должно равняться числу захватов на этот уровень электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣 причём
ℎν
=
1
2
𝑚𝑣²
+
χ
𝑖
.
(23.2)
Число ионизаций с 𝑖-го уровня при поглощении квантов с частотами от ν до ν+𝑑ν в 1 см³ за 1 с равно
𝑛
𝑖
𝑘
𝑖ν
⎛
⎜
⎝
1-exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν
𝑘𝑇
⎫
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑐ρν
ℎν
𝑑ν
,
где 𝑛𝑖 — число атомов в 𝑖-м состоянии, 𝑘𝑖ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом (множитель в скобках учитывает отрицательное поглощение), ρν — плотность излучения частоты ν. На основании принципа детального равновесия имеем
𝑛⁺𝑛
𝑒
β
𝑖
(𝑣)
𝑓(𝑣)
𝑣
𝑑𝑣
=
𝑛
𝑖
𝑘
𝑖ν
⎛
⎜
⎝
1-exp
⎧
⎪
⎩
-
ℎν
𝑘𝑇
⎫
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑐ρν
ℎν
𝑑ν
.
(23.3)
Как известно, при термодинамическом равновесии функция 𝑓(𝑣) определяется формулой Максвелла, плотность излучения ρν — формулой Планка и распределение атомов по состояниям — формулами Больцмана и Саха. При помощи перечисленных формул из соотношения (23.3) получаем
β
𝑖
(𝑣)
=
ℎ²ν²
𝑐²𝑚²𝑣²
𝑔𝑖
𝑔⁺
𝑘
𝑖ν
,
(23.4)
где 𝑔𝑖 — статистический вес 𝑖-го состояния данного атома, и 𝑔⁺ — статистический вес основного состояния иона.
Формула (23.4) и даёт искомую связь между величинами β𝑖(𝑣) и 𝑘𝑖ν. Хотя при выводе её предполагалось термодинамическое равновесие, но она верна, разумеется, всегда (так как вероятности поглощения и излучения квантов не зависят от распределения атомов по состояниям и квантов по частотам).
Подставляя (23.4) в (23.1), получаем следующее выражение для коэффициента рекомбинации:
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
=
𝑔𝑖
𝑔⁺
ℎ²
𝑐²𝑚²
∞
∫
0
ν²
𝑣
𝑘
𝑖ν
𝑓(𝑣)
𝑑𝑣
.
(23.5)
Здесь функция 𝑓(𝑣) даётся формулой Максвелла при температуре 𝑇𝑒, т.е.