Курс теоретической астрофизики

Очевидно, что применимость соотношения (9.3) нуждается в большем обосновании, чем применимость соотношения (9.2), так как линии возникают в среднем в более поверхностных слоях звёзд, чем непрерывный спектр.

При помощи (9.2) и (9.3) вместо уравнения (9.1) находим

cos

dI

dr

=-

(

+

)

(I

-B

)

.

(9.4)

Пусть t — оптическая глубина в атмосфере в частоте внутри линии, т.е.

t

=

0

(

+

)

dr

.

(9.5)

Тогда уравнение (9.4) принимает вид

cos

dI(t,)

dt

=

I

(t

,)

-

B

(T)

.

(9.6)

Наибольший интерес для нас представляет интенсивность излучения в линии, выходящего из атмосферы. Для этой величины из уравнения (9.6) получаем

I

(0,)

=

0

B

(T)

exp

-t

sec

sec

dt

.

(9.7)

Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы в непрерывном спектре вблизи линии, мы обозначим через I(0,). Эта величина равна

I

(0,)

=

0

B

(T)

exp

-

sec

sec

d

,

(9.8)

где — оптическая глубина в атмосфере в непрерывном спектре вблизи линии, т.е.

=

r

dr

.

(9.9)

Отношение

r

=

I(0,)

I(0,)

(9.10)

характеризует профиль линии поглощения на угловом расстоянии от центра диска звезды. Очевидно, что величина r может быть найдена из наблюдений только для Солнца (и в принципе — для затменных переменных). Для обычных же звёзд из наблюдений определяется лишь профиль линии поглощения в спектре всего диска. Этот профиль характеризуется отношением

r

=

H

H

,

(9.11)

где H — поток излучения, выходящего из звезды в частоте внутри линии, и H — поток излучения, выходящего из звезды в непрерывном спектре вблизи линии. Величина H определяется формулой

H

=

2

0

B

(T)

E

t

dt

,

(9.12)

где Et — вторая интегральная показательная функция. Аналогичной формулой (с заменой t на ) определяется и величина H (см. §4).

Рис. 11

Если известна величина r, то легко может быть найдена и так называемая эквивалентная ширина линии поглощения. Под ней понимается ширина соседнего участка непрерывного спектра, энергия которого равна энергии, поглощённой в линии (рис. 11). Обозначая эквивалентную ширину линии через W, на основании определения имеем

H

W

=

(

H

-

H

)

d

,

(9.13)

или, при использовании (9.11),

W

=

(1-r

)

d

.

(9.14)

Приведёнными формулами, определяющими профили и эквивалентные ширины линий, мы будем часто пользоваться ниже.

2. Определение профилей линий.

Для вычисления профилей линий поглощения мы должны знать зависимость между температурой T и оптической глубиной t. Точная зависимость между этими величинами может быть найдена только на основе расчёта моделей звёздных фотосфер. Однако некоторый интерес представляет и приближённая зависимость между T и t, которой мы сейчас воспользуемся.

Из формул (6.1) и (6.5) вытекает следующая приближённая формула, связывающая между собой температуру T и оптическую глубину в непрерывном спектре:

B

(T)

=

B

(T)

1

+

.

(9.15)

При получении этой формулы предполагалось, что отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре к среднему коэффициенту поглощения не зависит от глубины. Теперь мы допустим, что и отношение коэффициента поглощения в линии к коэффициенту поглощения в непрерывном спектре, т.е. величина /, также не зависит от глубины. Тогда на основании формул (9.5) и (9.9) имеем

t

=

+

1

.

(9.16)

Подстановка (9.16) в (9.15) даёт

B

(T)

=

B

(T)

1

+

+

.

(9.17)

Для нахождения величины r, определённой формулой (9.10), мы должны подставить (9.17) в (9.7) и (9.15) в (9.8). Делая это, получаем

r

=

1 +

+ cos

1 +

cos

.

(9.18)

Формулой (9.18) определяется профиль линии на угловом расстоянии от центра диска. Аналогично получается выражение для величины r, характеризующей профиль линии в спектре всей звезды:

r

=

1 +

2

3

+

1 +

2

3

.

(9.19)

Очевидно, что в случае локального термодинамического равновесия линия поглощения возникает вследствие роста температуры с глубиной. Так как коэффициент поглощения в линии больше коэффициента поглощения в непрерывном спектре, то излучение в линии доходит до нас из менее глубоких слоёв, где температура ниже. Поэтому интенсивность излучения в линии и оказывается меньше интенсивности излучения в непрерывном спектре. Если бы температура в атмосфере была постоянной, то в формулах (9.18) и (9.19) мы имели бы =0, а значит r=1 и r=1, т.е. линий поглощения не было бы.

Следует иметь в виду, что приближённые формулы (9.18) и (9.19) могут в некоторых случаях обладать очень малой точностью, так как величины / и /, которые мы считали постоянными, могут в реальных атмосферах сильно меняться с глубиной.

Как уже сказано, для получения точных профилей линий необходимы предварительные расчёты моделей звёздных фотосфер. Эти расчёты дают распределение температуры и плотности в поверхностных слоях звезды, в которых возникают линии поглощения. Пользуясь такими данными, можно вычислить коэффициенты поглощения и на разных глубинах, а значит, и оптические глубины t и в виде функций от геометрической глубины.