Читаем Как не ошибаться. Сила математического мышления полностью

Для Фано и его интеллектуальных преемников не имеет значения, «как выглядит» прямая – похожа ли она на линию, на окружность, на крякву или на что угодно. Важно лишь то, что прямые линии подчиняются законам прямых линий – законам, установленным Евклидом и его преемниками. Если это ходит как геометрия и крякает как геометрия, значит, будем называть это геометрией[219]. Существует точка зрения, согласно которой такой шаг создает разрыв между математикой и реальностью, чему необходимо противостоять. Мнение чрезмерно консервативное. Смелая идея, что мы можем размышлять в геометрических категориях о системах, не похожих на евклидово пространство[220], и называть эти системы геометриями – причем говорить об этом с высоко поднятой головой, – сыграла решающую роль в осмыслении релятивизма геометрии пространственно-временного континуума, в котором мы живем. В настоящее время мы используем обобщенные геометрические идеи для построения карты интернет-пространства, которое представляет собой нечто весьма далекое от того, что мог представить Евклид. Это один из аспектов красоты математики: мы разрабатываем совокупность идей, и если они верны, то они верны, даже если их применение выходит далеко за рамки контекста, в котором они изначально были задуманы.

Возьмем в качестве иллюстрации такой пример. На рисунке снова изображена плоскость Фано, но точки на ней обозначены числами от 1 до 7.

Выглядит знакомо? Если составить список этих семи линий, обозначив их совокупностью трех точек, которые расположены на каждой из них, получится следующее:

124

135

167

257

347

236

456

Это не что иное, как совокупность семи лотерейных билетов, о которых мы говорили выше, – совокупность, в которой каждая пара чисел выпадает только один раз, гарантируя минимальный выигрыш. В тот момент такое свойство казалось впечатляющим и загадочным. Как может кто бы то ни было сформировать столь идеально упорядоченное множество лотерейных билетов?

Ну вот, только что с моей помощью ларчик открылся и продемонстрировал суть фокуса: все дело в геометрии. Каждая пара чисел появляется ровно в одном билете, поскольку каждая пара точек лежит ровно на одной прямой. Это всего лишь Евклид, правда, говорим мы теперь о точках и линиях, и вряд ли Евклид их узнал бы.

<p id="lnk-384">Прошу прощения, вы сказали «bofab»?</p>

Плоскость Фано подсказывает нам, как без всякого риска играть в трансильванскую лотерею из семи чисел, но как насчет лотереи штата Массачусетс? Существует множество конечных геометрий с количеством точек, большим семи, но ни одна из них, к сожалению, не отвечает полностью требованиям лотереи Cash WinFall. В этом случае необходимо нечто более универсальное. Решение проблемы проистекает не непосредственно из живописи эпохи Возрождения или евклидовой геометрии, а из еще одного неожиданного источника – теории цифровой обработки сигналов.

Предположим, мне нужно отправить на спутник важное сообщение, например, «Включить правый двигатель». Спутники не разговаривают на человеческом языке, поэтому на самом деле я отправляю последовательность единиц и нулей – то, что программисты называют битами:

1110101…

Сообщение кажется четким и недвусмысленным. Однако в реальной жизни в каналах связи бывают помехи. Может быть, космический луч попадает в спутник в тот момент, когда спутник принимает ваше сообщение, и искажает один бит информации, поэтому в итоге получается такое сообщение:

1010101…

На первый взгляд может показаться, что это сообщение не очень отличается от предыдущего, но, если изменение одного бита информации приведет к замене команды «включить правый двигатель» на команду «включить левый двигатель», у спутника могут возникнуть серьезные проблемы.

Спутники стоят очень дорого, а значит, лучше избегать подобных проблемных ситуаций. Когда вы пытаетесь поговорить с приятелем на бурной вечеринке, то имеете возможность повторить сказанное, и ваши слова не утонут в общем шуме. Данный способ применим и в нашем случае: в исходном сообщении можно продублировать каждый бит, отправив 00 вместо 0 и 11 вместо 1:

11 11 11 00 11 00 11…

Теперь, когда космический луч выбьет второй бит сообщения, спутник увидит такую последовательность:

10 11 11 00 11 00 11…

Спутник знает, что каждый сегмент из двух бит должен представлять собой либо 00, либо 11, а значит, сигнал «10» – признак того, что что-то не в порядке. Но что именно? Спутнику трудно разобраться с этим, поскольку он не знает, в каком именно месте помеха исказила сигнал, не существует способа определить, как выглядело исходное сообщение – 00 или 11.

Но и эту проблему можно исправить, повторив каждый бит три раза вместо двух:

111 111 111 000 111 000 111…

Предположим, сообщение приходит в искаженном виде:

101 111 111 000 111 000 111…

Перейти на страницу:

Все книги серии Библиотека фонда «Эволюция»

Происхождение жизни. От туманности до клетки
Происхождение жизни. От туманности до клетки

Поражаясь красоте и многообразию окружающего мира, люди на протяжении веков гадали: как он появился? Каким образом сформировались планеты, на одной из которых зародилась жизнь? Почему земная жизнь основана на углероде и использует четыре типа звеньев в ДНК? Где во Вселенной стоит искать другие формы жизни, и чем они могут отличаться от нас? В этой книге собраны самые свежие ответы науки на эти вопросы. И хотя на переднем крае науки не всегда есть простые пути, автор честно постарался сделать все возможное, чтобы книга была понятна читателям, далеким от биологии. Он логично и четко формулирует свои идеи и с увлечением рассказывает о том, каким образом из космической пыли и метеоритов через горячие источники у подножия вулканов возникла живая клетка, чтобы заселить и преобразить всю планету.

Михаил Александрович Никитин

Научная литература
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием

"Ни кошелька, ни жизни" Саймона Сингха и Эдзарда Эрнста – правдивый, непредвзятый и увлекательный рассказ о нетрадиционной медицине. Основная часть книги посвящена четырем самым популярным ее направлениям – акупунктуре, гомеопатии, хиропрактике и траволечению, а в приложении кратко обсуждаются еще свыше тридцати. Авторы с самого начала разъясняют, что представляет собой научный подход и как с его помощью определяют истину, а затем, опираясь на результаты многочисленных научных исследований, страница за страницей приподнимают завесу тайны, скрывающую неутешительную правду о нетрадиционной медицине. Они разбираются, какие из ее методов действенны и безвредны, а какие бесполезны и опасны. Анализируя, почему во всем мире так широко распространены методы лечения, не доказавшие своей эффективности, они отвечают не только на вездесущий вопрос "Кто виноват?", но и на важнейший вопрос "Что делать?".

Саймон Сингх , Эрдзард Эрнст

Домоводство / Научпоп / Документальное
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать

На протяжении всей своей истории человек учился понимать других живых существ. А коль скоро они не могут поведать о себе на доступном нам языке, остается один ориентир – их поведение. Книга научного журналиста Бориса Жукова – своего рода карта дорог, которыми человечество пыталось прийти к пониманию этого феномена. Следуя исторической канве, автор рассматривает различные теоретические подходы к изучению поведения, сложные взаимоотношения разных научных направлений между собой и со смежными дисциплинами (физиологией, психологией, теорией эволюции и т. д.), связь представлений о поведении с общенаучными и общемировоззренческими установками той или иной эпохи.Развитие науки представлено не как простое накопление знаний, но как «драма идей», сложный и часто парадоксальный процесс, где конечные выводы порой противоречат исходным постулатам, а замечательные открытия становятся почвой для новых заблуждений.

Борис Борисович Жуков

Зоология / Научная литература

Похожие книги

12 недель в году
12 недель в году

Многие из нас четко знают, чего хотят. Это отражается в наших планах – как личных, так и планах компаний. Проблема чаще всего заключается не в планировании, а в исполнении запланированного. Для уменьшения разрыва между тем, что мы хотели бы делать, и тем, что мы делаем, авторы предлагают свою концепцию «года, состоящего из 12 недель».Люди и компании мыслят в рамках календарного года. Новый год – важная психологическая отметка, от которой мы привыкли отталкиваться, ставя себе новые цели. Но 12 месяцев – не самый эффективный горизонт планирования: нам кажется, что впереди много времени, и в результате мы откладываем действия на потом. Сохранить мотивацию и действовать решительнее можно, мысля в рамках 12-недельного цикла планирования. Эта система проверена спортсменами мирового уровня и многими компаниями. Она поможет тем, кто хочет быть эффективным во всем, что делает.На русском языке публикуется впервые.

Брайан Моран , Майкл Леннингтон

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература
1991. Хроника войны в Персидском заливе
1991. Хроника войны в Персидском заливе

Книга американского военного историка Ричарда С. Лаури посвящена операции «Буря в пустыне», которую международная военная коалиция блестяще провела против войск Саддама Хусейна в январе – феврале 1991 г. Этот конфликт стал первой большой войной современности, а ее планирование и проведение по сей день является своего рода эталоном масштабных боевых действий эпохи профессиональных западных армий и новейших военных технологий. Опираясь на многочисленные источники, включая рассказы участников событий, автор подробно и вместе с тем живо описывает боевые действия сторон, причем особое внимание он уделяет наземной фазе войны – наступлению коалиционных войск, приведшему к изгнанию иракских оккупантов из Кувейта и поражению армии Саддама Хусейна.Работа Лаури будет интересна не только специалистам, профессионально изучающим историю «Первой войны в Заливе», но и всем любителям, интересующимся вооруженными конфликтами нашего времени.

Ричард С. Лаури

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / История / Прочая справочная литература / Военная документалистика / Прочая документальная литература
100 способов уложить ребенка спать
100 способов уложить ребенка спать

Благодаря этой книге французские мамы и папы блестяще справляются с проблемой, которая волнует родителей во всем мире, – как без труда уложить ребенка 0–4 лет спать. В книге содержатся 100 простых и действенных советов, как раз и навсегда забыть о вечерних капризах, нежелании засыпать, ночных побудках, неспокойном сне, детских кошмарах и многом другом. Всемирно известный психолог, одна из основоположников французской системы воспитания Анн Бакюс считает, что проблемы гораздо проще предотвратить, чем сражаться с ними потом. Достаточно лишь с младенчества прививать малышу нужные привычки и внимательно относиться к тому, как по мере роста меняется характер его сна.

Анн Бакюс

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Детская психология / Образование и наука