Для Фано и его интеллектуальных преемников не имеет значения, «как выглядит» прямая – похожа ли она на линию, на окружность, на крякву или на что угодно. Важно лишь то, что прямые линии подчиняются законам прямых линий – законам, установленным Евклидом и его преемниками. Если это ходит как геометрия и крякает как геометрия, значит, будем называть это геометрией[219]. Существует точка зрения, согласно которой такой шаг создает разрыв между математикой и реальностью, чему необходимо противостоять. Мнение чрезмерно консервативное. Смелая идея, что мы можем размышлять в геометрических категориях о системах, не похожих на евклидово пространство[220], и называть эти системы
Возьмем в качестве иллюстрации такой пример. На рисунке снова изображена плоскость Фано, но точки на ней обозначены числами от 1 до 7.
Выглядит знакомо? Если составить список этих семи линий, обозначив их совокупностью трех точек, которые расположены на каждой из них, получится следующее:
124
135
167
257
347
236
456
Это не что иное, как совокупность семи лотерейных билетов, о которых мы говорили выше, – совокупность, в которой каждая пара чисел выпадает только один раз, гарантируя минимальный выигрыш. В тот момент такое свойство казалось впечатляющим и загадочным. Как может кто бы то ни было сформировать столь идеально упорядоченное множество лотерейных билетов?
Ну вот, только что с моей помощью ларчик открылся и продемонстрировал суть фокуса: все дело в геометрии. Каждая пара чисел появляется ровно в одном билете, поскольку каждая пара точек лежит ровно на одной прямой. Это всего лишь Евклид, правда, говорим мы теперь о точках и линиях, и вряд ли Евклид их узнал бы.
Прошу прощения, вы сказали «bofab»?
Плоскость Фано подсказывает нам, как без всякого риска играть в трансильванскую лотерею из семи чисел, но как насчет лотереи штата Массачусетс? Существует множество конечных геометрий с количеством точек, б
Предположим, мне нужно отправить на спутник важное сообщение, например, «Включить правый двигатель». Спутники не разговаривают на человеческом языке, поэтому на самом деле я отправляю последовательность единиц и нулей – то, что программисты называют
1110101…
Сообщение кажется четким и недвусмысленным. Однако в реальной жизни в каналах связи бывают помехи. Может быть, космический луч попадает в спутник в тот момент, когда спутник принимает ваше сообщение, и искажает один бит информации, поэтому в итоге получается такое сообщение:
1010101…
На первый взгляд может показаться, что это сообщение не очень отличается от предыдущего, но, если изменение одного бита информации приведет к замене команды «включить правый двигатель» на команду «включить левый двигатель», у спутника могут возникнуть серьезные проблемы.
Спутники ст
11 11 11 00 11 00 11…
Теперь, когда космический луч выбьет второй бит сообщения, спутник увидит такую последовательность:
10 11 11 00 11 00 11…
Спутник
Но и эту проблему можно исправить, повторив каждый бит три раза вместо двух:
111 111 111 000 111 000 111…
Предположим, сообщение приходит в искаженном виде:
101 111 111 000 111 000 111…