Как не ошибаться. Сила математического мышления

У проективной плоскости есть недостаток: ее трудно нарисовать. Но есть у нее и преимущество, делающее правила геометрии более согласованными. На евклидовой плоскости две различные точки определяют одну прямую, а две различные прямые определяют одну точку пересечения, если только они не параллельные – в таком случае они вообще не пересекаются. В математике мы любим правила, но не любим исключений. С проективной плоскостью вам не придется делать никаких исключений в правиле, говорящем, что две прямые пересекаются в одной точке, поскольку параллельные прямые также пересекаются. Например, любые две вертикальные линии пересекаются в точке Р, а две линии, указывающие с северо-восточного направления в юго-западном, пересекаются в точке Q. Две точки определяют одну линию, две линии пересекаются в одной точке, вот и все[218]. Здесь имеет место идеальная симметрия, простота и изысканность, не свойственные классической планиметрии. Совсем не случайно, что проективная геометрия возникла естественным образом в результате попыток решить практическую задачу отображения трехмерного мира на плоском холсте. Как раз за разом показывает история науки, математическая элегантность и практическая полезность идут рука об руку. Порой ученые открывают теорию и предоставляют математикам искать объяснение ее элегантности; в других случаях математики разрабатывают элегантную теорию и оставляют ученым искать области ее применения.

Реалистическая живопись – та область деятельности, в которой применяется проективная плоскость. Еще одна такая область – выбор лотерейных номеров.

Миниатюрная геометрия

В основе геометрии проективной плоскости лежат две аксиомы.

Каждая пара точек лежит ровно на одной общей прямой.

Каждая пара прямых линий содержит ровно одну общую точку.

Когда математики обнаружили одну разновидность геометрии, удовлетворявшую этим двум идеально согласованным аксиомам, вполне естественно было задать вопрос, существуют ли другие типы геометрии. Оказывается, есть много таких геометрий, одни большие, а другие маленькие. Самая крохотная из них называется «плоскость Фано», по имени ее создателя Джино Фано, который был одним из первых математиков конца XIX столетия, всерьез воспринявших идею конечных геометрий. Вот как выглядит плоскость Фано.

Действительно совсем небольшая геометрическая система, состоящая всего из семи точек! В качестве «прямых» в ней выступают линии, показанные на рисунке; линии также маленькие, поскольку на каждой из них всего по три точки. Существует семь таких линий, шесть из которых выглядят как прямые, а седьмая похожа на окружность. И все-таки эта так называемая геометрия, и без того экзотическая, удовлетворяет и первой и второй аксиомам точно так же, как плоскость Брунеллески.

Фано придерживался современного подхода, достойного восхищения: у него была, говоря словами Харди, «привычка определения», поскольку он избегал вопроса, не имеющего ответа, а именно: «Что такое геометрия?» Вместо этого он спрашивал: «Какой феномен ведет себя подобно геометрии?» Вот свидетельство самого Фано:

A base del nostro studio noi mettiamo una varietà qualsiasi di enti di qualunque natura; enti che chiameremo, per brevità, punti indipendentemente però, ben inteso, dalla loro stessa natura{189}.

А это перевод:

В качестве основы нашего исследования мы исходим из предположения, что существует произвольная совокупность объектов произвольной природы – объектов, которые мы для краткости называем точками, но это не имеет отношения к их природе{190}.