Как не ошибаться. Сила математического мышления

Теперь спутник готов к этому. Он знает, что первый сегмент из трех бит должен представлять собой 000 или 111, а значит, присутствие 101 означает, что что-то пошло не так. Но, если в исходном сообщении была бы последовательность 000, это означало бы, что искажены два бита, расположенные в непосредственной близости друг от друга, – маловероятное событие, учитывая редкость космических лучей, искажающих сообщения. Следовательно, у спутника есть все основания применить принцип большинства: если два из трех бит содержат 1, велика вероятность, что в исходном сообщении была последовательность 111.

Вы только что увидели пример кода с исправлением ошибок – протокол обмена данными, позволяющий получателю устранять ошибки в искаженном сигнале[221]. Эта идея, как практически и все остальное в теории информации, сформулирована в вышедшей в 1948 году и ставшей сразу классической работе Клода Шеннона Mathematical Theory of Communication («Математическая теория связи»)[222].

Математическая теория коммуникации! Звучит несколько претенциозно, не так ли? Разве коммуникация – не сугубо человеческий вид деятельности, который нельзя свести к холодным цифрам и формулам?

Я хочу, чтобы вы понимали: я от всей души поддерживаю и настоятельно рекомендую демонстрировать жесткий скептицизм по отношению к любым заявлениям, что ту или иную сущность можно объяснить, или укротить, или полностью понять математическими средствами.

Тем не менее история математики представляет собой историю агрессивной территориальной экспансии, поскольку математические методы становятся все более всеобъемлющими и богатыми, а математики находят способы изучать вопросы, которые раньше считались находящимися вне их области знаний. В наше время словосочетание «математическая теория вероятностей» выглядит вполне обычным, но когда-то могло показаться большим перегибом: математика занималась только изучением определенного и истинного, а не случайного и возможного! Ситуация изменилась, когда Паскаль, Бернулли и другие математики открыли математические законы, описывающие действие случая[223]. Математическая теория бесконечности? До работы Георга Кантора в XIX столетии изучение бесконечности было не столько наукой, сколько теологией; сейчас мы понимаем теорию Кантора о множественности бесконечностей, каждая из которых бесконечно больше предыдущей, настолько полно, что преподаем эту тему первокурсникам, изучающим математику. (По правде сказать, она действительно поражает их воображение.)

Формальные математические модели не охватывают все детали того феномена, который описывают, они и не должны этого делать. Например, существуют вопросы о случайности – на них теория вероятностей не дает ответа. В понимании некоторых людей проблемы, остающиеся вне досягаемости математики, представляют собой самые интересные вопросы. Но в наши дни было бы ошибкой размышлять о случае, не опираясь на теорию вероятностей. Если не верите мне, спросите Джеймса Харви. Или, что еще лучше, спросите об этом у людей, чьи деньги он выиграл.

Появится ли когда-либо математическая теория сознания? Общества? Эстетики? Кто-то наверняка пытается создать такие теории, но пока безуспешно. Заявления такого рода должно каждый раз подвергать сомнению, полагаясь на интуицию. Но также следует помнить, что в конечном счете они могут правильно интерпретировать некоторые вещи.

На первый взгляд код с исправлением ошибок не кажется революционным математическим методом. Ведь мы всегда повторяем сказанное, когда находимся в шумном месте, – и таким образом решаем проблему! Но у данного решения есть своя цена. Если вы будете повторять каждый бит информации три раза, для передачи сообщения понадобится в три раза больше времени. Вряд ли это послужит препятствием на громогласной вечеринке, но может стать настоящей проблемой, если вам необходимо, чтобы спутник включил правый двигатель в данную секунду. В своей работе, положившей начало теории информации, Шеннон описал негативный побочный эффект, с которым инженеры борются до сих пор: чем более устойчивым к помехам вы хотите сделать свой сигнал, тем медленнее будут передаваться биты. Присутствие шума ограничивает длину сообщения, которое ваш канал связи может безопасно передать за определенное количество времени. Шеннон обозначил этот предел термином пропускная способность канала. Подобно тому как труба пропускает только определенное количество воды, канал связи также передает только определенный объем информации.

Однако для исправления ошибок не обязательно сокращать пропускную способность канала связи, как того требует протокол «повторить три раза». Шеннон знал, что их можно исправить более эффективно, поскольку Ричард Хэмминг, его коллега по Bell Labs, уже понял, как решить данную проблему.