Как не ошибаться. Сила математического мышления

Какое отношение все сказанное имеет к лотерее Cash WinFall? Как мы уже говорили, ожидаемая ценность 100 тысяч лотерейных билетов одна и та же, какие бы билеты вы ни покупали. Однако дисперсия – совсем другое дело. Предположим, я приму решение сделать большую ставку в этой игре, но поступлю другим способом: куплю 100 тысяч копий одного и того же лотерейного билета.

Если случится так, что во время розыгрыша лотереи в этом билете совпадут четыре цифры из шести, тогда я стану счастливым обладателем 100 тысяч билетов, выигравших в категории «Четыре совпадения». По существу, мне достанется весь призовой фонд в размере 1,4 миллиона долларов, то есть очень большой доход в размере 600 %. Но если мой набор цифр проиграет, я потеряю все свои 200 тысяч долларов. Это пари с высокой дисперсией, когда существует большая вероятность крупного выигрыша и небольшая вероятность еще большего проигрыша.

Таким образом, «не ставить все деньги на одно число» – весьма правильный совет, гораздо лучше вести игру в более широком диапазоне. Но разве не этим занималась группа Селби, когда использовала при покупке лотерейных билетов функцию Quic Pic, которая обеспечивает случайный выбор чисел?

Не совсем. Хотя Селби не ставил все свои деньги на один билет, он все-таки действительно покупал много билетов с одинаковыми числами. На первый взгляд это кажется странным. В период самой активной игры группа Селби покупала по 300 тысяч лотерейных билетов на один розыгрыш, предоставляя компьютеру в случайном порядке выбирать числа из 10 миллионов вариантов. Следовательно, объем покупок Селби составлял всего 3 % от возможных билетов. В таком случае какова вероятность того, что он покупал два билета с одинаковыми числами?

На самом деле эта вероятность довольно высокая. Вспомним старую шутку: соберите гостей на вечеринку, и выяснится, что двое из них родились в один день. Но это должна быть большая вечеринка – скажем, человек на тридцать. Тридцать дней рождения из 365 вариантов[212] – это не слишком много, а значит, вряд ли два из этих дней рождения выпадут на одну дату. Однако речь идет не о количестве людей, а о количестве пар. Нетрудно вычислить, что есть 435 пар людей[213], а также что каждая пара может иметь общий день рождения с вероятностью 1 из 365. Следовательно, на такой вечеринке вы вполне можете встретить пару людей (а возможно, даже две пары), родившихся в один день. На самом деле вероятность, что из тридцати человек двое родились в один день, равна немногим более 70 % – довольно большое значение. А если вы покупаете 300 тысяч лотерейных билетов, выбранных случайным образом из 10 миллионов вариантов, вероятность покупки двух билетов с одинаковыми числами настолько близка к 1, что я предпочитаю не вычислять, сколько еще девяток мне нужно после 99,9 %, а просто использую слово наверняка, чтобы получить точное значение вероятности.

Однако проблема не только в дублировании лотерейных билетов. Как и всегда, чтобы нарисовать соответствующую картину, легче будет понять, что происходит с математическими расчетами, если взять достаточно малые величины. Поэтому давайте устроим розыгрыш лотереи с участием всего семи шаров, из которых штат выбирает три шара в качестве комбинации, за которую выплачивается джекпот. Существует всего тридцать пять таких комбинаций, соответствующих тридцати пяти различным способам, которыми можно выбрать три числа из множества 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Вот эти комбинации в порядке возрастания чисел:

123 124 125 126 127

134 135 136 137

145 146 147

156 157

167

234 235 236 237

245 246 247

256 257

267

345 346 347

356 357

367

456 457

467

567

Предположим, Джеральд Селби идет в магазин и покупает семь лотерейных билетов с числами, выбранными случайным образом с помощью функции Quic Pic. (Лотерею с такой структурой называют иногда трансильванской лотереей, хотя я не нашел свидетельств, что в нее когда-либо играли в Трансильвании или чтобы ею баловались вампиры.)

Угадать два числа из трех довольно легко, поэтому я больше не буду говорить «два из трех»; давайте просто назовем получающий меньший выигрыш билет двойкой. Например, если в розыгрыше джекпота выпадают номера 1, 4 и 7, четыре билета с одним числом 1, одним числом 4 и каким-то количеством чисел, отличающихся от числа 7, – это двойки. Кроме этих четырех билетов есть еще четыре билета, в которых угаданы числа 1–7, а также еще четыре с числами 4–7. Таким образом, двенадцать билетов из тридцати пяти, то есть более трети возможных билетов, – это двойки. А значит, среди семи билетов Джеральда Селби есть минимум пара двоек. Выполнив необходимые расчеты, можно получить более точные значения вероятности того, что у Селби будет то или иное количество двоек.

Вероятность полного отсутствия двоек составляет 5,3 %.

Вероятность одной двойки составляет 19,3 %.

Вероятность двух двоек составляет 30,3 %.

Вероятность трех двоек составляет 26,3 %.

Вероятность четырех двоек составляет 13,7 %.

Вероятность пяти двоек составляет 4,3 %.

Вероятность шести двоек составляет 0,7 %.