Понятие ожидаемой ценности привлекло внимание математиков еще в середине XVII столетия, а к концу столетия эта идея была уже настолько изученной, что ее использовал даже такой ученый-практик, как Эдмунд Галлей, Королевский астроном Англии[167]{158}. Да, человек, который занимался кометами! Но он был также одним из первых ученых, изучавших вопрос правильного ценообразования страховых продуктов, что в период правления Вильгельма III было делом чрезвычайной важности. Англия с энтузиазмом вступила в войну на континенте, а война требовала денег. Парламент предложил добыть необходимые средства посредством принятого в 1692 году «Закона о миллионе», призванного собрать миллион фунтов за счет продажи пожизненных аннуитетов населению. Чтобы получить такой аннуитет, необходимо было заплатить короне изрядную сумму в обмен на гарантированные пожизненные ежегодные выплаты. Это своего рода страхование жизни наоборот: по существу, покупатели аннуитета делали ставку на то, что они в скором времени не умрут. Актуарная наука находилась в то время в зачаточном состоянии, поэтому стоимость аннуитета устанавливалась без учета возраста получателя аннуитета![168]{159} Пожизненный аннуитет для дедушки, который мог получать ежегодные выплаты самое большее на протяжении десяти лет, имел такую же стоимость, что и аннуитет для ребенка.
Галлей был довольно грамотным ученым, чтобы понимать всю абсурдность схемы ценообразования, не зависящей от возраста. Он решил разработать более рациональный метод расчета стоимости пожизненного аннуитета. Проблема была в том, что люди не приходят в этот мир и не покидают его по такому же строгому графику, как это делают кометы. Однако, воспользовавшись статистическими данными рождаемости и смертности, он смог оценить
Другими словами, дедушка с его более короткой ожидаемой продолжительностью жизни платит за аннуитет меньше, чем его внук.
Когда я рассказываю людям историю об Эдмунде Галлее и о цене аннуитетов, меня часто прерывают словами: «Но это же очевидно, что молодым следует назначать более высокую цену!»
Нет, совсем не очевидно. Пожалуй, это действительно кажется очевидным, если вы, будучи современными людьми, уже кое о чем знаете. Сам факт, что люди, занимавшиеся аннуитетами, каждый раз упускали это из виду, – уже служит доказательством того, что
Наша тема напомнила мне старый случай, связанный с одним замечательным российским профессором, которого мы назывем профессором О, – эту историю любят рассказывать на математическом факультете Гарвардского университета. Профессор О дошел уже до середины вывода сложной алгебраической формулы, когда студент из заднего ряда поднял руку.
– Профессор, я не понял последнего шага. Почему эти два оператора коммутируют?
– Но ето есть очевидно[169], – слегка удивленно ответил профессор О.
– Простите, профессор, но я на самом деле этого не вижу, – продолжал упорствовать студент.
Профессор О вернулся к доске и написал на ней еще несколько строк объяснения.
– Что мы должны сделать? Так вот, два оператора приведены к диагональному виду… ну, не совсем диагональному, но… минуточку…
Профессор О помолчал еще немного, уставившись на то, что было на доске, и почесывая подбородок. Затем он ушел в свой кабинет. Прошло около десяти минут. Студенты уже собирались уходить, когда профессор О вернулся и снова занял свое место у доски.
– Да, – удовлетворенно произнес он. – Да, ето есть очевидно[170].
Не играйте в Powerball
В настоящее время американская государственная лотерея Powerball разыгрывается в сорока двух штатах, в округе Колумбия и на Виргинских островах США. Это невероятно популярная лотерея: иногда продается целых 100 миллионов билетов на один розыгрыш{160}. В Powerball играют бедные люди, в Powerball играют те, кто уже разбогател. В Powerball играет мой отец, бывший президент Американской статистической ассоциации, а поскольку он покупает билеты и для меня, значит, и я тоже играю.
Разумно ли это?