Читаем Как не ошибаться. Сила математического мышления полностью

Шестого декабря 2013 года, когда я пишу эти строки, джекпот составляет довольно большую сумму, 100 миллионов долларов. И джекпот – это не единственный способ выиграть. Подобно многим другим лотереям, в Powerball действует многоуровневая система призов; более мелкие и чаще встречающиеся призы позволяют поддерживать у людей ощущение того, что в эту лотерею стоит играть.

С помощью ожидаемой ценности мы в состоянии сопоставить эти ощущения с математическими фактами. Вот как можно рассчитать ожидаемую ценность лотерейного билета за 2 доллара. Покупая билет, вы приобретаете следующее:

1 шанс из 175 000 000 выиграть джекпот 100 миллионов долларов;

1 шанс из 5 000 000 выиграть приз 1 миллион долларов;

1 шанс из 650 000 выиграть приз 10 тысяч долларов;

1 шанс из 19 000 выиграть приз 100 долларов;

1 шанс из 12 000 выиграть другой приз 100 долларов;

1 шанс из 700 выиграть приз 7 долларов;

1 шанс из 360 выиграть другой приз 7 долларов;

1 шанс из 110 выиграть приз 4 доллара;

1 шанс из 55 выиграть другой приз 4 доллара.

(Все эти данные можно получить на сайте Powerball, на котором есть также на удивление остроумная страница «Часто задаваемые вопросы», где можно найти нечто в таком роде: «Вопрос: заканчивается ли срок действия билетов Powerball? Ответ: да; Вселенная затухает, и ничто не вечно».)

Таким образом, ожидаемая сумма, которую вы можете выиграть, равна:

100 миллионов / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

что составляет немногим менее 94 центов. Другими словами, с точки зрения ожидаемой ценности лотерейный билет не стоит ваших двух долларов.

Но это не конец истории, поскольку не все лотерейные билеты одинаковые. Когда джекпот составляет 100 миллионов долларов (как сегодня), ожидаемая ценность билета возмутительно низка. Но каждый раз, когда джекпот остается невостребованным, в призовой фонд поступает дополнительная сумма денег. Чем больше становится джекпот, тем больше людей покупают лотерейные билеты и тем больше вероятность того, что один из этих билетов сделает кого-то мультимиллионером. В августе 2012 года работник железной дороги из штата Мичиган Дональд Лоусон сорвал джекпот в размере 337 миллионов долларов{161}.

Когда главный приз становится настолько большим, ожидаемая ценность билета также увеличивается. Для того чтобы рассчитать эту ценность, достаточно подставить в приведенную выше формулу сумму 337 миллионов:

337 миллионов / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

что составляет 2,29 доллара. Отныне игра в лотерею уже не кажется таким безнадежным делом. Насколько большим должен быть джекпот, чтобы ожидаемая ценность лотерейного билета превысила его цену в два доллара? Теперь вы можете вернуться к учительнице, которая преподавала вам математику в восьмом классе, и сказать ей, что вы поняли, зачем нужна алгебра. Если мы обозначим величину джекпота буквой J, ожидаемая ценность билета равна:

J / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

или, если упростить эту формулу:

J / 175 миллионов + 36,7 цента.

В этот момент в игру вступает алгебра. Чтобы ожидаемая ценность лотерейного билета оказалась больше двух долларов, которые вы на него потратили, необходимо, чтобы значение J / 175 миллионов было больше 1,63 доллара или что-то около этого. Умножив обе стороны на 175 миллионов, вы обнаружите, что пороговая величина джекпота составляет немногим более 285 миллионов долларов. Это не такое уж редкое событие: в 2012 году такой джекпот был три раза. Создается впечатление, что по большому счету игра в лотерею может быть неплохой идеей – если вы достаточно осмотрительны, чтобы играть только тогда, когда джекпот становится достаточно большим.

Но и это еще не конец истории. Вы не единственный человек в Америке, знакомый с алгеброй. И даже люди, не знающие алгебры, инстинктивно понимают, что лотерейный билет более заманчив, когда джекпот составляет 300 миллионов долларов, а не 80 миллионов. Как и всегда, математический подход – формализованная версия наших природных мысленных расчетов, продолжение здравого смысла другими средствами. В случае типичного розыгрыша с джекпотом 80 миллионов долларов может быть продано около 13 миллионов билетов. Но когда Дональд Лоусон выиграл 337 миллионов долларов, вместе с ним в лотерею играли еще около 75 миллионов человек[171].

Чем больше людей играет, тем больше людей выигрывают призы. Но джекпот только один. И если два человека угадали все шесть чисел, они должны разделить эти большие деньги.

Какова вероятность того, что вы выиграете джекпот и вам не придется им делиться? Для этого должны произойти две вещи. Прежде всего вы должны угадать все шесть чисел; вероятность сделать это составляет один шанс из 175 миллионов. Но недостаточно просто выиграть: все остальные должны проиграть.

Перейти на страницу:

Все книги серии Библиотека фонда «Эволюция»

Происхождение жизни. От туманности до клетки
Происхождение жизни. От туманности до клетки

Поражаясь красоте и многообразию окружающего мира, люди на протяжении веков гадали: как он появился? Каким образом сформировались планеты, на одной из которых зародилась жизнь? Почему земная жизнь основана на углероде и использует четыре типа звеньев в ДНК? Где во Вселенной стоит искать другие формы жизни, и чем они могут отличаться от нас? В этой книге собраны самые свежие ответы науки на эти вопросы. И хотя на переднем крае науки не всегда есть простые пути, автор честно постарался сделать все возможное, чтобы книга была понятна читателям, далеким от биологии. Он логично и четко формулирует свои идеи и с увлечением рассказывает о том, каким образом из космической пыли и метеоритов через горячие источники у подножия вулканов возникла живая клетка, чтобы заселить и преобразить всю планету.

Михаил Александрович Никитин

Научная литература
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием

"Ни кошелька, ни жизни" Саймона Сингха и Эдзарда Эрнста – правдивый, непредвзятый и увлекательный рассказ о нетрадиционной медицине. Основная часть книги посвящена четырем самым популярным ее направлениям – акупунктуре, гомеопатии, хиропрактике и траволечению, а в приложении кратко обсуждаются еще свыше тридцати. Авторы с самого начала разъясняют, что представляет собой научный подход и как с его помощью определяют истину, а затем, опираясь на результаты многочисленных научных исследований, страница за страницей приподнимают завесу тайны, скрывающую неутешительную правду о нетрадиционной медицине. Они разбираются, какие из ее методов действенны и безвредны, а какие бесполезны и опасны. Анализируя, почему во всем мире так широко распространены методы лечения, не доказавшие своей эффективности, они отвечают не только на вездесущий вопрос "Кто виноват?", но и на важнейший вопрос "Что делать?".

Саймон Сингх , Эрдзард Эрнст

Домоводство / Научпоп / Документальное
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать

На протяжении всей своей истории человек учился понимать других живых существ. А коль скоро они не могут поведать о себе на доступном нам языке, остается один ориентир – их поведение. Книга научного журналиста Бориса Жукова – своего рода карта дорог, которыми человечество пыталось прийти к пониманию этого феномена. Следуя исторической канве, автор рассматривает различные теоретические подходы к изучению поведения, сложные взаимоотношения разных научных направлений между собой и со смежными дисциплинами (физиологией, психологией, теорией эволюции и т. д.), связь представлений о поведении с общенаучными и общемировоззренческими установками той или иной эпохи.Развитие науки представлено не как простое накопление знаний, но как «драма идей», сложный и часто парадоксальный процесс, где конечные выводы порой противоречат исходным постулатам, а замечательные открытия становятся почвой для новых заблуждений.

Борис Борисович Жуков

Зоология / Научная литература

Похожие книги

12 недель в году
12 недель в году

Многие из нас четко знают, чего хотят. Это отражается в наших планах – как личных, так и планах компаний. Проблема чаще всего заключается не в планировании, а в исполнении запланированного. Для уменьшения разрыва между тем, что мы хотели бы делать, и тем, что мы делаем, авторы предлагают свою концепцию «года, состоящего из 12 недель».Люди и компании мыслят в рамках календарного года. Новый год – важная психологическая отметка, от которой мы привыкли отталкиваться, ставя себе новые цели. Но 12 месяцев – не самый эффективный горизонт планирования: нам кажется, что впереди много времени, и в результате мы откладываем действия на потом. Сохранить мотивацию и действовать решительнее можно, мысля в рамках 12-недельного цикла планирования. Эта система проверена спортсменами мирового уровня и многими компаниями. Она поможет тем, кто хочет быть эффективным во всем, что делает.На русском языке публикуется впервые.

Брайан Моран , Майкл Леннингтон

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература
1991. Хроника войны в Персидском заливе
1991. Хроника войны в Персидском заливе

Книга американского военного историка Ричарда С. Лаури посвящена операции «Буря в пустыне», которую международная военная коалиция блестяще провела против войск Саддама Хусейна в январе – феврале 1991 г. Этот конфликт стал первой большой войной современности, а ее планирование и проведение по сей день является своего рода эталоном масштабных боевых действий эпохи профессиональных западных армий и новейших военных технологий. Опираясь на многочисленные источники, включая рассказы участников событий, автор подробно и вместе с тем живо описывает боевые действия сторон, причем особое внимание он уделяет наземной фазе войны – наступлению коалиционных войск, приведшему к изгнанию иракских оккупантов из Кувейта и поражению армии Саддама Хусейна.Работа Лаури будет интересна не только специалистам, профессионально изучающим историю «Первой войны в Заливе», но и всем любителям, интересующимся вооруженными конфликтами нашего времени.

Ричард С. Лаури

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / История / Прочая справочная литература / Военная документалистика / Прочая документальная литература
100 способов уложить ребенка спать
100 способов уложить ребенка спать

Благодаря этой книге французские мамы и папы блестяще справляются с проблемой, которая волнует родителей во всем мире, – как без труда уложить ребенка 0–4 лет спать. В книге содержатся 100 простых и действенных советов, как раз и навсегда забыть о вечерних капризах, нежелании засыпать, ночных побудках, неспокойном сне, детских кошмарах и многом другом. Всемирно известный психолог, одна из основоположников французской системы воспитания Анн Бакюс считает, что проблемы гораздо проще предотвратить, чем сражаться с ними потом. Достаточно лишь с младенчества прививать малышу нужные привычки и внимательно относиться к тому, как по мере роста меняется характер его сна.

Анн Бакюс

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Детская психология / Образование и наука