Физика в примерах и задачах

Разумеется, осуществление описанного здесь фантастического космического проекта лежит за пределами технических возможностей. Ни прорыть такой туннель через центр Земли, ни откачать из него воздух, что совершенно необходимо для того, чтобы свободное падение ракеты в нем происходило без сопротивления, конечно, невозможно. Но сама идея использовать поле тяготения для экономии топлива космических кораблей, несомненно, представляет интерес. Например, в космическом путешествии за пределы Солнечной системы можно использовать поле тяготения одной из тяжёлых планет для предварительного разгона и включать двигатели корабля для сообщения необходимого импульса вблизи этой планеты.

18. Изменение орбиты.

В результате трения в верхних слоях атмосферы механическая энергия спутника Земли за много витков уменьшилась на 2%. Орбита спутника при этом как была, так и осталась круговой. Как изменились параметры орбиты: радиус r, скорость v, период обращения T?

В системе отсчёта, связанной с Землёй, механическая энергия спутника E есть сумма его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с Землёй (R - радиус Земли):

E

=

mv^2

2

-

mgR^2

r

.

(1)

Так как орбита спутника круговая, то его скорость постоянна и связана с радиусом орбиты соотношением

v^2

=

gR^2

r

.

(2)

С помощью (2) выражение для энергии спутника (1) можно представить в виде

E(r)

=-

mgR^2

r

+

mgR^2

2r

=-

mgR^2

2r

.

(3)

Рис. 18.1. Зависимость кинетической, потенциальной и полной энергий спутника Земли от радиуса орбиты

Проиллюстрируем соотношение (3) графически. На рис. 18.1 показана зависимость потенциальной, кинетической и полной энергий спутника от радиуса r круговой орбиты. Из рисунка видно, что увеличение механической энергии спутника приводит к увеличению радиуса орбиты. Поскольку при нашем выборе начала отсчёта потенциальной энергии полная энергия спутника всегда отрицательна, относительное изменение энергии E/E положительно при её уменьшении (E0). Так как по условию полная энергия уменьшилась на 2 %, то E/E положительно и равно 0,02. Соотношение (3) позволяет связать изменение энергии спутника с изменением радиуса орбиты r:

E(r+

r)

=-

1

2

mgR^2

r+r

=

E(r)

+

E

.

(4)

Правую часть этого выражения при r/r1 приближённо можно записать так:

-

1

2

mgR^2

r(1+r/r)

-

1

2

mgR^2

r

1-

r

r

=

E(r)

1-

r

r

.

(5)

Сравнивая (4) и (5), получаем

E

+

E

=

E

1-

r

r

т.е.

r

r

=-

E

E

=

-0,02

.

Радиус орбиты также уменьшился на 2%.

Изменение скорости спутника при изменении орбиты легко выразить через изменение радиуса орбиты с помощью соотношения (2):

(v+

v)^2

=

gR^2

r+r

.

(6)

Поскольку v/v1 левую часть этого соотношения приближённо можно записать в виде

v^2

1

+

v

v

^2

v^2

1

+

2

v

v

.

Преобразовав правую часть формулы (6) так же, как и при переходе от (4) к (5), получим

1

+

2

v

v

=

gR^2

r

1

+

v

v

,

откуда, учитывая (2), находим

v

v

=-

r

2r

=

E

2E

=

0,01

.

Скорость спутника увеличилась на 1%. Обратите внимание, что слабое торможение спутника в верхних слоях атмосферы приводит к увеличению его скорости!

Осталось найти изменение периода обращения. Это легко сделать, зная r/r и v/v, поскольку период связан с радиусом орбиты и скоростью спутника соотношением T=2r/v. Записывая значение периода обращения при изменившихся радиусе орбиты и скорости спутника:

T

+

T

=

2

r+r

v+v

,

и преобразуя правую пасть подобно тому, как это делалось выше,

2

r(1+r/r)

v(1+v/v)

T

1

+

r

r

-

v

v

,

находим

T

T

=

r

r

-

v

v

=-

3E

2E

=

-0,03

.

Период обращения уменьшился на 3%.

19. Энергия спутника.

Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите радиуса r. В какой пропорции сообщённая ему при запуске энергия распределилась между приращениями потенциальной и кинетической энергий?

Кинетическую энергию спутника mv^2/2, движущегося по круговой орбите, удобно выразить через радиус орбиты r:

E

_к

=

mgR^2

2r

.

(1)

Находясь на поверхности Земли, спутник уже обладает потенциальной энергией. Если, как обычно, выбрать начало отсчёта потенциальной энергии на бесконечности, потенциальная энергия спутника на поверхности Земли

E

_п

(R)

=-

mgR

,

а потенциальная энергия на орбите

E

_п

(r)

=-

mgr

,

Следовательно, при выводе спутника на орбиту ему была сообщена потенциальная энергия

E

_п

=

E

_п

(r)

-

E

_п

(R)

=

mgR

(1-R/r)

.

(2)

Составляя отношение (1) и (2), находим

E_п

E_к

=

2

r-R

R

.

Но r-R равно высоте орбиты H над поверхностью Земли. Итак,

E_п

E_к

=

2H

R

,

т.е. отношение сообщённой потенциальной энергии к сообщённой кинетической пропорционально высоте орбиты.

20. Возвращение с орбиты.

Космический корабль движется по круговой орбите. Для перехода на траекторию приземления кораблю сообщают дополнительную скорость v включением тормозного двигателя на короткое время. Рассмотреть два способа перехода на траекторию приземления: 1) дополнительная скорость сообщается в направлении, противоположном орбитальной скорости; 2) дополнительная скорость сообщается вертикально вниз, т.е. в направлении на центр Земли. Какой способ выгоднее энергетически? Исследовать также предельный случай возвращения с низкой круговой орбиты, высота которой h над поверхностью Земли много меньше радиуса Земли R(h).