Физика в примерах и задачах

Направление этой скорости, как видно из рис. 15.4, составляет угол с вертикалью, тангенс которого равен отношению v/2 к v

tg

=

v/2

v

=

v/2

2gl+v^2/2

=

1

2 1/2 +2gl/v^2

.

(6)

Подчеркнём, что удачный выбор системы отсчёта при решении этой задачи позволил обойтись, по существу, всего одной простой формулой (3), выражающей закон сохранения энергии.

16. Парадокс кинетической энергии.

Игрушечный автомобиль с полностью заведённой пружиной может разогнаться до скорости v. Пренебрегая потерями энергии на трение, можно считать, что потенциальная энергия заведённой пружины W целиком превратилась в кинетическую энергию игрушки. Рассмотрим этот же процесс в другой инерциальной системе отсчёта, которая движется со скоростью v относительно Земли навстречу игрушечному автомобилю. В этой системе отсчёта окончательная скорость игрушки равна 2v, т.е. вдвое больше, а её кинетическая энергия в четыре раза больше, т.е. равна 4W. Так как в этой системе отсчёта автомобиль с самого начала имел кинетическую энергию W, то в результате раскручивания пружины его кинетическая энергия возросла на 3W, а не на W, как в исходной системе отсчёта. Между тем потенциальная энергия заведённой пружины в обоих случаях равна W! Объясните этот парадокс.

Парадокс возникает потому, что в приведённых рассуждениях не учитывалась кинетическая энергия Земли и её изменение при взаимодействии колёс игрушки с дорогой. Если же это изменение учесть аккуратно, то никакого парадокса вообще не возникает и закон сохранения энергии, разумеется, оказывается выполненным.

Рассмотрим сначала систему отсчёта, в которой Земля неподвижна. В этой системе отсчёта до разгона автомобиля полный импульс равен нулю. При разгоне автомобиля он приобретает скорость v, а Земля приобретает скорость V, направленную противоположно (V0). Полный импульс системы остаётся неизменным, поэтому

mv

+

MV

=

0,

(1)

где m - масса игрушки, M - масса Земли.

Рис. 16.1. Разгоняясь, заводная игрушка сообщает Земле не только поступательное движение со скоростью V но и вращение с угловой скоростью

Так как действующая на Землю со стороны колёс игрушки сила не проходит через центр Земли, то кроме поступательного движения со скоростью V Земля приходит также и во вращение с некоторой угловой скоростью (рис. 16.1). Забудем пока об этом вращении Земли и будем считать, что Земля движется только поступательно.

При раскручивании пружины её потенциальная энергия W превращается в кинетическую энергию игрушки и Земли:

W

=

mv^2

2

+

MV^2

2

.

(2)

Выражая V из уравнения (1) и подставляя в (2), находим

W

=

mv^2

2

1

+

m

M

.

(3)

Так как масса игрушки m неизмеримо меньше массы Земли (m/M1), то, как видно из формулы (3), практически вся энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.

Теперь рассмотрим тот же процесс с точки зрения второй системы отсчёта, в которой скорость игрушки и Земли сначала равна v. Полный импульс в этой системе отсчёта равен (m+M)v После разгона скорость игрушки равна 2v, а скорость Земли обозначим через V. На основании закона сохранения импульса

m(2v)

+

MV

=

(m+M)v

.

(4)

Кинетическая энергия игрушки после разгона равна m(2v)^2/2, а кинетическая энергия Земли есть MV^2/2. Изменение полной кинетической энергии

E

=

m(2v)^2

2

+

MV^2

2

-

(m+M)v^2

2

.

(5)

Выразим V из уравнения (4) и подставим в (5):

E

=

3

mv^2

2

+

M

2

1-

m

M

^2

v^2

-

v^2

.

(6)

После простых алгебраических преобразований выражение (6) приводится к виду

E

=

mv^2

2

1-

m

M

.

(7)

Сравнивая правую часть (7) с формулой (3), видим, что и в этом случае изменение кинетической энергий всей системы равно потенциальной энергии пружины W.

Изменение кинетической энергии игрушки при разгоне в этой системе отсчёта действительно в три раза больше, чем изменение этой энергии в системе отсчёта, связанной с Землёй. Однако теперь изменение кинетической энергии Земли такого же порядка, что и изменение энергии игрушки, в отличие от изменения энергии Земли в исходной системе отсчёта, где оно было ничтожным. В новой системе отсчёта колеса игрушки при разгоне тормозят движение Земли, и её кинетическая энергия убывает. Увеличение кинетической энергии игрушки в этой системе отсчёта происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт уменьшения кинетической энергии Земли.