Физика в примерах и задачах

Сообщение дополнительной скорости v переводит корабль с круговой орбиты на эллиптическую. Один из фокусов эллипса, в соответствии с первым законом Кеплера, находится в центре Земли. При любом из способов перехода на траекторию приземления дополнительная скорость будет наименьшей, если эллипс только касается земной поверхности (точнее - границы плотных слоёв атмосферы), а не пересекает её. В самом деле, при таком условии требуется наименьшее «искажение» первоначальной круговой траектории. На рис. 20.1 выбранная точка приземления обозначена буквой A. Эта точка является перигеем эллиптической траектории спуска.

Рис. 20.1. Возможные траектории снижения с круговой орбиты в точку A на поверхности

При первом способе включение двигателя изменяет только модуль, но не направление скорости. Поэтому в точке, где срабатывает тормозной двигатель, и исходная круговая, и получившаяся эллиптическая траектория спуска имеют общую касательную, направленную вдоль вектора скорости. Глядя на рис. 20.1, нетрудно сообразить, что эта точка является апогеем эллиптической траектории и, следовательно, лежит на продолжении прямой, проходящей через перигей (точку A) и центр Земли.

При втором способе дополнительная скорость v сообщается в направлении, перпендикулярном круговой орбите, и, следовательно, при этом изменяется как модуль, так и направление орбитальной скорости. Это означает, что эллиптическая траектория спуска пересекает круговую орбиту в точке, где срабатывает тормозной двигатель (точка C на рис. 20.1).

Для определения необходимой дополнительной скорости v в каждом из этих случаев воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Кеплера, согласно которому при движении по орбите секторная скорость неизменна. Уравнения, выражающие эти законы, для первого способа можно записать в виде

mv^2

2

-

mgR^2

r

=

mv^2

2

-

mgR

,

(1)

rv

=

Rv

,

(2)

где vv-v - скорость в апогее (в точке B рис. 20.1), v - скорость на круговой орбите, r - радиус круговой орбиты, - скорость в точке приземления A. Подставляя v из (2) в (1) и перегруппировывая члены, получим

v^2

1-

r^2

R^2

=

2gR^2

r

1-

r

R

.

(3)

Рассматривая в левой части уравнения (3)

разность квадратов

1-

r^2

R^2

как произведение

1+

r

R

1-

r

R

и сокращая правую и левую части на

1-

r

R

,

получаем

v

=

2gR^2

r

1/2

1

1+r/R

.

Учитывая, что gR^2/r есть скорость корабля на круговой орбите v, и подставляя v=v-v, - находим

v

=

v

1-

2

1+r/R

1/2

.

(4)

В случае низкой круговой орбиты (h) эту точную формулу можно приближённо записать в более простом виде. Преобразуем корень в правой части (4), подставляя вместо r сумму радиуса Земли R и высоты круговой орбиты h (r=R+h):

2

1+r/R

1/2

=

2

1+(h+R)/R

1/2

=

2

2+h/R

1/2

=

=

1

1+h/2R

1

1+h/4R

1

-

h

4R

.

Подставляя это выражение в формулу (4), получаем

v

=

vh

4R

.

(5)

Перейдём к нахождению дополнительной скорости v при втором способе перехода на траекторию приземления. Прежде всего заметим, что при сообщении кораблю дополнительной скорости в направлении на центр Земли его секторная скорость не изменяется, поэтому в любой точке эллиптической траектории спуска секторная скорость будет такой же, как и на первоначальной круговой орбите, т.е. равной rv Запишем это условие для точки приземления A, скорость в которой обозначим через v:

rv

=

Rv

.

(6)

Вместе с уравнением закона сохранения энергии

m(v^2+v^2)

2

-

mgR^2

2

=

mv^2

2

-

mgR

(7)

получаем систему уравнении относительно неизвестных v^2 и v^2. В уравнении (7) учтено, что дополнительная скорость v^2 перпендикулярна скорости на круговой орбите и квадрат результирующей скорости определяется по теореме Пифагора (рис. 20.1). Подставляя v из (6) в уравнение (7), учитывая, что скорость на круговой орбите v=gR^2/r, и выражая через v последнее слагаемое в правой части (7), получаем

v^2

+

v^2

-

2v^2

=

v^2

r^2

R^2

-

2v^2

r

R

,

откуда

v^2

=

v^2

r^2

R^2

-2

r

R

+1

.

(8)

Таким образом,

v

=

v

r

R

-1

.

(9)

Подставляя в эту формулу r=R+h получаем

v

=

vh

R

.

(10)

Сравнивая формулы (5) и (10), находим, что при использовании первого способа перехода на траекторию приземления с низкой круговой орбиты (h) необходимая дополнительная скорость v в 4 раза меньше.

Скорость в точке A, которую необходимо погасить для осуществления мягкой посадки, при использовании первого способа меньше. Это непосредственно следует из закона сохранения энергии при сравнении этих способов. Действительно, так как изменения потенциальной энергии одинаковы при обоих способах спуска, то кинетическая энергия в точке A больше в том случае, в котором она больше сразу после срабатывания тормозного двигателя. Таким образом, и с этой точки зрения первый способ является предпочтительным. Более высокая скорость входа в плотные слои атмосферы, характерная для второго способа, предъявляет более жёсткие требования к теплозащитному экрану корабля. Преимущества первого способа становятся совсем очевидными, если речь идёт о посадке на лишённую атмосферы планету (например, на Луну), где скорость перед посадкой должна быть погашена двигателем.

Рис. 20.2. К расчёту точки срабатывания тормозного двигателя