Физика в примерах и задачах

Таким образом, на тело в туннеле в точке A (рис. 17.1) действует сила тяжести только со стороны заштрихованного шара, на поверхности которого находится это тело. Так как масса заштрихованного шара пропорциональна кубу его радиуса r, а сила тяготения пропорциональна массе (т.е. r^3) и в то же время обратно пропорциональна квадрату радиуса, то эта сила пропорциональна радиусу шара: Fr. Так как на поверхности Земли при r-R сила тяжести равна mg, то на произвольном расстоянии r от центра при r=R имеем

F(r)

=

mgr

R

.

(1)

При rR сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния; график зависимости силы тяжести от r показан на рис. 17.3.

Рис. 17.3. Зависимость силы тяжести и потенциальной энергии от расстояния до центра Земли

Теперь легко найти выражение для потенциальной энергии тела, находящегося в туннеле. Для этого мысленно поднимем тело из центра Земли на расстояние r, перемещая его равномерно. Очевидно, что для этого внешняя сила в каждой точке должна быть равна силе тяжести F(r) и противоположно направлена. Работа этой силы, равная площади заштрихованного треугольника mgr^2/2R, определяет изменение потенциальной энергии E_п:

E

_п

=

mgr^2

2R

.

(2)

Обычно потенциальную энергию принимают равной нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли (как, например, в формуле (3) из введения к этому разделу). В этой задаче удобно принять потенциальную энергию равной нулю, когда тело находится в центре Земли. Тогда с помощью формулы (2) найдём, что при r=R

E

_п

(r)

=

mgr^2

2R

.

(3)

На поверхности Земли потенциальная энергия при этом будет равна mgR/2, а на бесконечно большом расстоянии от Земли 3mgR/2. График зависимости потенциальной энергии от г также показан на рис. 17.3.

Формула (3) позволяет найти скорость ракеты v в центре Земли при свободном падении с поверхности. Приравнивая потенциальную энергию на поверхности mgR/2 кинетической энергии ракеты в центре Земли mv^2/2, получаем

v

=

gR

.

(4)

Видно, что эта скорость равна первой космической скорости для спутника, движущегося вблизи поверхности Земли (v_I= 7,9 км/с).

Теперь предположим, что в тот момент, когда ракета пролетает через центр Земли, срабатывают двигатели, которые изменяют её скорость на v. Тогда, подлетев к поверхности Земли, на выходе из туннеля ракета будет обладать скоростью v, которая находится с помощью закона сохранения энергии:

m(v+v)^2

2

=

mv^2

2

+

mgR

2

.

(5)

Потребуем, чтобы v. была равна второй космической скорости v_II=2gR. Тогда для необходимого приращения скорости v из уравнения (5) после подстановки в него v=gR, решая квадратное уравнение, получаем

v

=

gR

·

(1±

3

)

.

(6)

Взяв корень со знаком плюс, получаем значение v=(1-3)gR= 5,8 км/с. Второй корень соответствует изменению направления скорости ракеты в результате срабатывания двигателей на противоположное (т.е. торможению с последующим разгоном) и не представляет интереса в рассматриваемом примере.

Естественно задуматься над вопросом, за счёт чего получается такой «выигрыш» в энергии при использовании туннеля. При сгорании топлива в двигателях ракеты определённая часть его внутренней энергии превращается в кинетическую энергию ракеты и выброшенных газов. Если до срабатывания двигателей ракета была неподвижна на поверхности Земли, то в силу закона сохранения импульса некоторая (и немалая!) доля высвобождающейся энергии обязательно перейдёт в кинетическую энергию газов. Если же двигатели срабатывают в тот момент, когда ракета уже имеет некоторую скорость, то передаваемая газам доля кинетической энергии может быть меньше. Например, если при движении в туннеле скорость истечения газов из сопла двигателя ракеты будет равна скорости ракеты относительно Земли, то скорость выброшенных газов относительно Земли будет равна нулю. Другими словами, в системе отсчёта, связанной с Землёй, выброшенные газы вообще не будут обладать кинетической энергией, и вся высвобождающаяся механическая энергия целиком «достаётся» ракете. Ракете же достанется и кинетическая энергия топлива, которой оно обладало до срабатывания двигателей.

Интересно отметить, что свободное падение ракеты в туннеле представляет собой гармоническое колебание около центра Земли, при котором ракета пролетает через земной шар по диаметру от одного края туннеля до другого. Так происходит потому, что действующая в туннеле сила тяжести направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию до него. С помощью формулы (1) легко найти период таких колебаний. Поскольку частота =g/R, то период T=2/=2/g/R, что совпадает с периодом обращения спутника по низкой круговой орбите.